[논문 리뷰] A Classical Family of Elliptic Curves having Rank One and the $2$-Primary Part of their Tate-Shafarevich Group Non-Trivial

Yukako Kezuka, Yongxiong Li|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 11.

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한 줄 요약

이 논문은 $p \equiv 2$ 또는 $5 \pmod{9}$일 때, 개별 타원곡선 $C_{2p}: x^3 + y^3 = 2p$ 및 $C_{2p^2}: x^3 + y^3 = 2p^2$에 대해 Birch–Swinnerton-Dyer 추측의 3부분을 확립하며, 이러한 곡선의 2-Selmer 군과 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$의 이상환군의 2-랭크 사이에 정확한 연결고리를 증명한다. 주요 기여는 랭크가 1인, 토이트-샤파레비치 군의 비자명한 2-primary 부분을 가진 타원곡선의 명시적 가족을 구성하는 것이다.

ABSTRACT

We study elliptic curves of the form $x^3+y^3=2p$ and $x^3+y^3=2p^2$ where $p$ is any odd prime satisfying $p\equiv 2\bmod 9$ or $p\equiv 5\bmod 9$. We first show that the $3$-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture holds for these curves. Then we relate their $2$-Selmer group to the $2$-rank of the ideal class group of $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ to obtain some examples of elliptic curves with rank one and non-trivial $2$-part of the Tate-Shafarevich group.

연구 동기 및 목표

• 논문은 $C_{2p}$ 및 $C_{2p^2}$의 곱이 아닌, 개별 곡선에 대해 Birch–Swinnerton-Dyer 추측의 3부분을 증명하고자 한다.
• 이 타원곡선들의 2-Selmer 군과 순수 큐빅 체 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$의 이상환군의 2-랭크 사이의 이론적 연결고리를 확립하고자 한다.
• 유리수 위에서 랭크가 1이면서 토이트-샤파레비치 군의 비자명한 2-primary 부분을 가진 타원곡선의 명시적 가족을 구성하고자 한다.
• 이러한 곡선의 존재를 이론적으로 설명할 수 있는 프레임워크를 제공하고자 한다. 이는 이론적으로는 수치 계산을 통해만 알려진 곡선들이다.

제안 방법

• 저자들은 조건부 평균화 방법의 한계를 극복하기 위해, 합에서 개별 L-값을 분리하기 위해 '명시적 모듈로 3 Birch–Swinnerton-Dyer 추측'을 도입한다.
• Deuring 정리와 복소 곱승 이론, 모듈라 기호를 사용하여 $s=1$에서 L-함수의 대수적 부분의 유리성과 정수성을 증명한다. 이때 정규화는 $\Omega_n = \Omega / \sqrt{3} \cdot n^{1/3}$를 사용한다.
• 3부분 BSD의 증명은 3-adic 평가를 사용하여 개별 L-값의 합에서 분리된 모듈로 3의 합동식을 분석함으로써 이루어진다.
• 2부분에 대해서는 Kummer 이론과 2-짝성 추측을 적용하여 $C_{2p}$ 또는 $C_{2p^2}$의 2-Selmer 군을 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$의 이상환군의 2-랭크와 연결한다.
• 비분열 2-확장과 제곱 노름을 가진 주 이상환에 대응하는 $L^\times / (L^\times)^2$의 부분군 $N_1 \subseteq \mathrm{Sel}_2(E) \subseteq N_2$를 정의한다.
• 2-Selmer 군의 차원은 Dirichlet의 단위 정리와 $\mathrm{Cl}(L)/2\mathrm{Cl}(L)$의 구조를 이용하여 $\mathrm{Cl}(L)[2]$의 2-랭크와 단위군을 통해 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $p \equiv 2$ 또는 $5 \pmod{9}$에 대해, $C_{2p}$ 및 $C_{2p^2}$의 개별 곡선에 대해 Birch–Swinnerton-Dyer 추측의 3부분이 성립하는가?
• RQ2 $C_{2p}$ 또는 $C_{2p^2}$의 2-Selmer 군과 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$의 이상환군의 2-랭크 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이 관계를 이용하여 랭크가 1이면서 토이트-샤파레비치 군의 비자명한 2-primary 부분을 가진 타원곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 곡선은 무한히 많거나, 그 존재에 대한 밀도 추정치를 제공할 수 있는가?
• RQ5 표준 평균화 방법이 합만 제어할 수 있기 때문에, 개별 L-값의 3-adic 평가를 합에서 분리할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p \equiv 2$ 또는 $5 \pmod{9}$에 대해, $C_{2p}$ 및 $C_{2p^2}$에 대해 Birch–Swinnerton-Dyer 추측의 3부분이 개별적으로 성립하며, $s=1$에서 L-값이 0이 아님을 보인다.
• $p \equiv 5 \pmod{9}$일 때, 대수적 L-값은 $L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv 1 \pmod{3}$를 만족한다.
• $p \equiv 2 \pmod{9}$일 때, 합동식 $L(C_{2p^2},1)/(3\Omega_{2p^2}) \equiv L(C_{2p},1)/(3\Omega_{2p}) \equiv 1 \pmod{3}$가 성립한다.
• $C_{2p}$ (또는 $C_{2p^2}$)의 2-Selmer 군 차원은 $k$ 또는 $k+1$이며, 여기서 $k = \mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})))$로, 루트 수의 부호에 따라 달라진다.
• $p \equiv 2 \pmod{9}$일 때, 곡선 $C_{2p}$는 랭크가 1이면서 비자명한 $X(C_{2p})[2]$를 가진다. 이는 $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$일 때이고, 그 반대도 성립한다.
• 수치적 증거에 따르면, $p < 10^6$인 소수 중에서 $p \equiv 2 \pmod{9}$인 13,099개 중 1,852개, $p \equiv 5 \pmod{9}$인 13,068개 중 1,629개가 $\mathrm{rank}_2(\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p}))) \geq 2$를 만족하며, 이는 이러한 곡선이 다수 존재함을 시사한다.