[논문 리뷰] A classification of 5-dimensional manifolds, souls of codimension two and non-diffeomorphic pairs

Sadeeb Ottenburger|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 6과 서로소인 $r > 1$에 대해 기본군이 $\mathbb{Z}/r$인 $S^2 \times S^2$ 위로 올리는 5차원 다양체를 분류하고, 렌즈 공간 위의 복소선다발의 총공간에서 비음성 섹션 곡률을 가진 완전한 메트릭의 무한한 가닥을 구성한다. 핵심 결과는 두 개의 서로 비호모토프인 쌍이 아닌 두 개의 쌍이 존재하는 다양체의 존재로, 이는 비음성 곡률 조건 하에서 비디피오모픽인 영혼 쌍이 존재하는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let T(γ) be the total space of the canonical line bundle γover CP^1 and r an integer which is greater than one and coprime to six. We prove that L_r^3 imes T(γ) admits an infinite sequence of metrics of nonnegative sectional curvature with pairwise non-homeomorphic souls, where L_r^3 is the standard 3-dimensional lens space with fundamental group isomorphic to Z/r. We classify the total spaces of S^1-fibre bundles over S^2 imes S^2 with fundamental group isomorphic to Z/r up to diffeomorphism and use these results to give examples of manifolds N which admit two complete metrics of nonnegative sectional curvature with souls S and S' of codimension two such that S and S' are diffeomorphic whereas the pairs (N,S) and (N,S') are not diffeomorphic. This solves a problem posed by I. Belegradek, S. Kwasik and R. Schultz.

연구 동기 및 목표

• 6과 서로소인 $r > 1$에 대해 $S^2 \times S^2$ 위로 올리는 $S^1$-올림다양체의 총공간을 디피오모피즘에 대해 분류한다.
• 서로 다른 두 개의 쌍이 존재하는 5차원 다양체에서 비음성 섹션 곡률을 가진 무한한 완전한 메트릭의 예를 구성한다.
• 비음성 곡률 조건 하에서 비디피오모픽인 영혼 쌍의 존재 문제를 제기한 Belegradek, Kwasik, 그리고 Schultz의 문제를 해결한다.
• 복소선다발의 총공간이 $L^{a,b}$와 끼워진 5차원 다양체의 분류 정리를, $\rho$-불변량과 Reidemeister 토션을 사용하여 수립한다.

제안 방법

• 단순한 구조 집합의 분류 결과를 사용하여, 기본군이 $\mathbb{Z}/r$인 5차원 다양체를 디피오모피즘에 대해 분류하기 위해 수술 이론을 사용한다.
• Grove와 Ziller의 결과를 적용하여, 첫 번째 코homology 클래스가 원시인 렌즈 공간 위의 복소선다발의 총공간에서 비음성 곡률 메트릭의 존재를 보인다.
• $\mathcal{L}$ 내의 다양체의 디피오모피즘 유형을 구별하기 위해 $\rho$-불변량과 Reidemeister 토션 $\Delta(N)$을 불변량으로 사용한다.
• 일부 코homological 등급이 디피오모피즘에 의해 유도될 수 없음을 보이기 위해, 비자명한 정규 불변량을 가진 자기-호모토피 등급을 구성한다.
• 특정 대수적 조건 하에서 디피오모피즘의 존재를 가정할 경우 모순을 이끌어내기 위해 정규 $s$-cobordism 이론과 매개변수의 합동 조건을 사용한다.
• $r^2 q \neq 0$일 때 $\rho$-불변량의 단사성을 활용하여 일부 디피오모피즘을 배제하고, 비디피오모픽인 영혼 쌍을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 두 개의 쌍이 존재하는 5차원 다양체에서 비음성 섹션 곡률을 가진 무한한 완전한 메트릭이 존재하는가?
• RQ2 동일한 다양체 위에서 두 개의 비음성 곡률 메트릭이 디피오모픽인 영혼을 가질 수 있지만, 영혼 쌍은 비디피오모픽일 수 있는가?
• RQ3 기본군 $\mathbb{Z}/r$에 대한 대수적 조건에서, $s^2 = -1$ 또는 $s^3 = 1$을 만족하는 단위 $s$의 존재가 영혼 쌍의 디피오모피즘 유형에 영향을 주는가?
• RQ4 모듈리 공간 $\mathfrak{M}^{c}_{\text{sec} \geq 0}(L_r^3 \times T(\gamma))$는 경로 성분이 무한히 많은 의미에서 무한차원인가?
• RQ5 다양체 $M$에 비음성 곡률 메트릭이 존재하는 것은, 임의의 단순 호모토피 등급인 다양체 $N$에 대해서도 비음성 곡률 메트릭이 존재하는가?

주요 결과

• 기본군이 $\mathbb{Z}/r$인 렌즈 공간 $L_r^3$과 $T(\gamma)$의 곱인 다양체 $L_r^3 \times T(\gamma)$는 서로 다른 두 개의 쌍이 존재하는 비음성 섹션 곡률을 가진 무한한 완전한 메트릭을 가진다.
• 모듈리 공간 $\mathfrak{M}^{c}_{\text{sec} \geq 0}(L_r^3 \times T(\gamma))$는 무한히 많은 경로 성분을 가지며, 이는 영혼들이 연속적인 메트릭의 경로로 연결될 수 없음을 의미한다.
• $r = 5$일 때, $\mathbb{Z}/5$에서 $s^2 = -1$을 만족하는 단위 $s = 2$의 존재는 비디피오모픽인 영혼 쌍을 가진 다양체의 예를 이끌어내며, [BKS1-09]의 문제 4.9를 해결한다.
• 분류 정리(정리 4)에 따르면, 기본군이 $\mathbb{Z}/r$인 두 5차원 다양체 $N$과 $N'$은 오직 오직 $h_*(g),N$에 대한 $\rho$-불변량이 $\rho(g,N')$과 같고, $\Delta(N) \sim \Delta(N')$이면 디피오모픽이다.
• 만약 $r$이 $s^3 = 1$을 만족하는 비자명한 단위를 가지지 않으며 $q$가 $r$으로 나누어지지 않으면, 쌍 $(N^{r,qr}_x, S)$는 $S$와 $S'$가 디피오모픽이면 디피오모픽이 되며, 이 경우에서의 강성 조건을 보여준다.
• 비자명한 정규 불변량을 가진 자기-호모토피 등급이 존재하고, 이는 디피오모피즘에 의해 실현될 수 없으며, 이는 일부 코homological 등급이 디피오모피즘에 의해 유도될 수 없음을 의미하며, 결과적으로 비디피오모픽인 영혼 쌍이 존재한다.