[논문 리뷰] A classification of pure states on quantum spin chains satisfying the split property with on-site finite group symmetries

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 현장에 국한된 유한군 대칭에 대해 불변인 양자 스핀 체인에서 순수하고 분리된 상태를 분류하며, 대응하는 계약형 표현의 두 번째 코homology류가 대칭을 유지하는 준등가에 대해 완전한 불변량임을 보여준다. 이 분류는 얽힘과 대칭 보존을 고려하여, 이러한 상태들이 항상 대칭을 유지하는 자명사상으로 연결될 수는 없음을 드러내며, 코homology류가 그 장벽을 기록함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a set $SPG(\mathcal{A})$ of pure split states on a quantum spin chain $\mathcal{A}$ which are invariant under the on-site action $τ$ of a finite group $G$. For each element $ω$ in $SPG(\mathcal{A})$ we can associate a second cohomology class $c_{ω,R}$of $G$. We consider a classification of $SPG(\mathcal{A})$ whose criterion is given as follows: $ω_{0}$ and $ω_{1}$ in $SPG(\mathcal{A})$ are equivalent if there are automorphisms $Ξ_{R}$, $Ξ_L$ on $\mathcal{A}_{R}$, $\mathcal{A}_{L}$ (right and left half infinite chains) preserving the symmetry $τ$, such that $ω_{1}$ and $ω_{0}\circ( Ξ_{L}\otimes Ξ_{R})$ are quasi-equivalent. It means that we can move $ω_{0}$ close to $ω_{1}$ without changing the entanglement nor breaking the symmetry. We show that the second cohomology class $c_{ω,R}$ is the complete invariant of this classification.

연구 동기 및 목표

• 현장에 국한된 유한군 대칭에 대해 불변인 양자 스핀 체인의 순수 상태를 분류하는 것.
• 그러한 상태들이 양쪽 반체인에서 대칭을 유지하는 자명사상으로 연결될 수 있는지, 얽힘을 변화시키지 않고 연결 가능한지 확인하는 것.
• 이 분류를 위한 완전한 불변량을 식별하여 군 대칭으로 인해 발생하는 위상적 장벽을 기록하는 것.
• 두 번째 코homology류가 양자 스핀 체인에서 대칭 보호 위상의 특성에 어떻게 기여하는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 논문은 유한군 $G$의 현장에 국한된 작용에 대해 불변인 순수하고 분리된 상태의 집합 $SPG({\tilde{A}})$를 정의한다.
• 각 상태 $\omega \in SPG({\tilde{A}})$에 대해, $G$의 계약형 표현을 구성하고, 두 번째 코homology류 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$를 할당한다.
• 두 상태 $\omega_0$와 $\omega_1$이 $\omega_1 \sim_{q.e.} \omega_0 \circ (\Xi_L \otimes \Xi_R)$를 만족할 경우, 즉 왼쪽과 오른쪽 반체인에서 대칭을 유지하는 자명사상 $\Xi_L$, $\Xi_R$에 대해 준등가 관계에 있을 때, 이 둘을 동치로 간주한다.
• 점근적으로 내부 자명사상과 준등가의 결과를 활용하여 상태의 구조와 코homological 불변량 간의 관계를 규명한다.
• Glimm의 보조정리와 Kadison의 전이 정리와 같은 $C^*$-대수 이론 기법을 적용하여 상태와 유니터리의 근사 성질을 확립한다.
• 두 번째 코homology류 $c_{\omega,R}$가 $SPG({\tilde{A}})$에 정의된 동치 관계에 대해 완전한 불변량임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 스핀 체인에서 대칭적인 순수 분리 상태 두 개는 항상 왼쪽과 오른쪽 반체인에서 대칭을 유지하는 자명사상으로 연결될 수 있는가, 이때 얽힘의 구조는 변화하지 않는다.
• RQ2 대칭 조건이 적용될 경우, 이러한 연결이 불가능한 장벽을 기록하는 위상적 또는 대수적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 군 $G$의 두 번째 코homology류는 대칭적인 순수 상태의 구조와 분리 성질을 만족하는 상태에서 어떻게 자연스럽게 유도되는가?
• RQ4 두 번째 코homology류 $c_{\omega,R}$는 정의된 동치 관계에 따라 모든 이러한 대칭적인 순수 분리 상태를 분류하는 데에 충분한가?
• RQ5 분리 성질은 양자 스핀 체인에서 가능한 대칭 보호 위상 상태의 수를 어느 정도 제한하는가?

주요 결과

• 대칭을 유지하는 준등가에 대해 두 번째 코homology류 $c_{\omega,R} \in H^2(G, \mathbb{C}^*)$는 대칭적인 순수 분리 상태의 분류에 대한 완전한 불변량이다.
• 모든 대칭적인 순수 분리 상태가 반체인에서 대칭을 유지하는 자명사상으로 연결될 수는 없으며, 이는 비자명한 위상적 장벽이 있음을 시사한다.
• 대칭을 유지하는 자명사상으로 상태들을 연결할 수 없는 장벽은 상태와 관련된 계약형 표현에 대응하는 군 $G$의 두 번째 코homology류에 의해 완전히 기록된다.
• 분류 결과는 양자 스핀 체인에서 대칭 보호 위상 상태가 $H^2(G, \mathbb{C}^*)$에 의해 분류됨을 드러내며, 이는 응집물리학에서 군 코homology 개념을 일반화한다.
• 이 결과는 $C^*$-대수의 대수적 구조와 전역 대칭을 갖는 양자 many-body 시스템의 위상 불변량 사이에 정확한 연결 고리를 확립한다.
• 논문은 분리 성질이 왼쪽과 오른쪽 체인 간의 작은 얽힘을 보장하며, 대칭을 유지하는 자명사상이 이 얽힘 구조를 유지함을 확인한다.