[논문 리뷰] A closed-form multigrid smoothing factor for an additive Vanka-type smoother applied to the Poisson equation

Chen Greif, Yunhui He|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 04.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 푸리에 분석을 사용하여 포아송 방정식에 적용된 추가형 밴카 유형의 스무딩 인자에 대한 폐쇄형 표현식을 유도한다. 이를 통해 요소별 밴카 스무딩기가 선형/이차 유한요소 방법에서의 스케일링된 질량 행렬과 동치임을 밝혀내며, 단 한 번의 행렬-벡터 곱으로 낮은 스무딩 인자를 달성하는 매우 효율적인 질량 기반 스무딩 기법을 제안한다. 이는 기존의 밴카 스무딩기와 비교해 빠르고 흐린 행렬이며 잘 조절된 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We consider an additive Vanka-type smoother for the Poisson equation discretized by the standard finite difference centered scheme. Using local Fourier analysis, we derive analytical formulas for the optimal smoothing factors for two types of smoothers, called vertex-wise and element-wise Vanka smoothers, and present the corresponding stencils. Interestingly, in one dimension the element-wise Vanka smoother is equivalent to the scaled mass operator obtained from the linear finite element method, and in two dimensions the element-wise Vanka smoother is equivalent to the scaled mass operator discretized by bilinear finite element method plus a scaled identity operator. Based on these discoveries, the mass matrix obtained from finite element method can be used as an approximation to the inverse of the Laplacian, and the resulting mass-based relaxation scheme features small smoothing factors in one, two, and three dimensions. Advantages of the mass operator are that the operator is sparse and well conditioned, and the computational cost of the relaxation scheme is only one matrix-vector product; there is no need to compute the inverse of a matrix. These findings may help better understand the efficiency of additive Vanka smoothers and develop fast solvers for numerical solutions of partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 국소 푸리에 분석을 사용하여 포아송 방정식에 대한 추가형 밴카 스무딩기의 수렴 행동을 이론적으로 분석한다.
• 1차원 및 2차원에서 정점별 및 요소별 밴카 패치에 대한 최적 스무딩 인자의 폐쇄형 표현식을 유도한다.
• 요소별 밴카 스무딩기와 스케일링된 유한요소 질량 행렬 간의 수학적 동치성을 규명한다.
• 기존의 추가형 밴카 스무딩기의 계산 효율적인 대안으로 질량 기반 스무딩 기법을 제안한다.
• 수치 실험을 통해 분석 결과를 검증하고, 다중격자 해법기에서 제안된 기법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 구조적 격자에서 추가형 밴카 유형 스무딩기의 스무딩 인자를 계산하기 위해 국소 푸리에 분석(LFA)을 적용한다.
• 1차원 및 2차원에서 정점별 및 요소별 밴카 패치에 대해 최적의 이완 매개변수와 스무딩 인자의 해석적 공식을 유도한다.
• 1차원에서 요소별 밴카 스무딩기가 선형 유한요소에서의 스케일링된 질량 행렬과 수학적으로 동치이며, 2차원에서는 이차 유한요소 질량 행렬에 스케일링된 항등행렬을 더한 것과 동치임을 밝혀낸다.
• 역 라플라스 연산자의 근사로 유한요소 질량 행렬을 사용하여 하위문제 해법 없이도 스무딩을 수행하는 질량 기반 스무딩 기법을 제안한다.
• 수치 실험을 통해 분석 예측을 검증하며, LFA를 사용한 이중격자 수렴 인자와 스무딩 인자를 비교한다.
• 3차원로의 분석을 확장하기 위해 삼차 유한요소 질량 행렬을 사용하는 질량 기반 스무딩기를 제안한다.

Figure 2: Eigenvalue distribution of $\widetilde{E}$ for Vanka-type method with $\nu=1$ . Left: element-wise Vanka. Right: vertex-wise Vanka.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포아송 방정식에 적용된 추가형 밴카 스무딩기의 최적 스무딩 인자에 대한 폐쇄형 표현식은 1차원 및 2차원에서 각각 어떻게 되는가?
• RQ2 정점별 및 요소별 밴카 스무딩기의 스텐실은 유한요소 질량 행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 유한요소 질량 행렬은 기존의 추가형 밴카 스무딩기의 효과적이고 효율적인 대안으로 사용될 수 있는가?
• RQ4 왜 요소별 밴카 스무딩기가 매우 낮은 스무딩 인자를 달성하는가? 그 이론적 근거는 무엇인가?
• RQ5 제안된 질량 기반 스무딩 기법은 기존의 밴카 스무딩기와 비교해 수렴성 및 계산 비용 측면에서 성능가능성이 어떻게 되는가?

주요 결과

• 1차원에서 요소별 밴카 스무딩기의 최적 스무딩 인자는 12/17 ≈ 0.706이며, 2차원에서는 24/25 = 0.96로 매우 우수한 스무딩 성능을 보인다.
• 1차원에서 요소별 밴카 스무딩기는 선형 유한요소에서의 스케일링된 질량 행렬과 수학적으로 동치이다.
• 2차원에서 요소별 밴카 스무딩기는 이차 유한요소 질량 행렬에 스케일링된 항등행렬을 더한 것과 동치이다.
• 제안된 질량 기반 스무딩 기법은 2차원에서 ω = 3/4일 때 이중격자 수렴 인자를 0.333로 달성하며, 이는 이론적 스무딩 인자와 정확히 일치한다.
• 1차원에서 정점별 밴카 스무딩기는 스무딩 인자가 81/104 ≈ 0.779로 더 높지만, LFA 이중격자 수렴 인자는 0.067로 스무딩 인자와 실제 수렴 간의 작은 격차를 보여준다.
• 3차원에서 질량 기반 스무딩기는 ω = 729/848일 때 이중격자 수렴 인자를 0.618로 달성하여 차원 증가에도 불구하고 뛰어난 성능을 보였다.

Figure 3: Element-wise Vanka with $\nu=1$ . Left: the magnitude of eigenvalues of $\widetilde{E}_{e}$ as a function of the Fourier modes, $(\theta_{1},\theta_{2})$ . Right: the magnitude of eigenvalues of $\widetilde{S}_{e}$ as a function of the Fourier modes, $(\theta_{1},\theta_{2})$ .