[논문 리뷰] A co-reflection of cubical sets into simplicial sets with applications to model structures

Chris Kapulkin, Zachery Lindsey외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 직선화 함수를 통해 단순형 집합에서 연결을 가진 입방형 집합으로의 공반사(co-reflection)를 수립함으로써, 쿼일렌과 조일의 모델 구조와 같은 코프로덕티브 생성 모델 구조를 입방형 집합으로 이전할 수 있게 한다. 주요 기여는 입방형 설정에서 $(\infty,1)$-범주들의 호모토피 이론을 나타내는 첫 번째 모델 구조를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We show that the category of simplicial sets is a co-reflective subcategory of the category of cubical sets with connections, with the inclusion given by a version of the straightening functor. We show that using the co-reflector, one can transfer any cofibrantly generated model structure in which cofibrations are monomorphisms to cubical sets, thus obtaining cubical analogues of the Quillen and Joyal model structures.

연구 동기 및 목표

• 단순형 집합을 연결을 가진 입방형 집합으로의 공반사(co-reflection)를 수립하여, 모델 구조의 이전을 가능하게 하기.
• 단순형 집합에서의 쿼일렌 및 조일 모델 구조의 입방형 해석을 제공하기.
• 입방형 집합의 범주에서 $(\infty,1)$-범주들의 호모토피 이론의 모델을 구축하기.
• 그로텐디크 구성(Grothendieck construction, unstraightening)이 단순형 집합의 포함 관계에 대한 공반사자(co-reflector)로 작용함을 보이기.
• 유도된 입방형 집합의 모델 구조가 그에 해당하는 단순형 집합의 모델 구조와 퀄렌 동치(Quillen equivalent)임을 증명하기.

제안 방법

• 저자들은 단순형 집합에서 연결을 가진 입방형 집합으로의 직선화 함수 $\mathscr{Q}$를 정의하며, 이는 역직선화 함수 $\int$에 대한 완전 충실한 왼쪽 수반(left adjoint)으로 작용한다.
• 그들은 그로텐디크 구성이 공반사자(co-reflector)로 작용함을 이용하여 $\mathscr{Q}$가 연결을 가진 입방형 집합의 범주에서 단순형 집합을 공반사적 부분범주(co-reflective subcategory)로 포함함을 증명한다.
• HKRS17 및 GKR18의 오른쪽 유도 모델 구조 수립 방법을 활용하여, 단순형 집합에서 입방형 집합으로의 코프로덕티브 생성 모델 구조를 이전한다. 이때 코프로덕티브 생성 조건이 단순형 집합에서 단순형 집합의 단사 사상으로서의 코프로덕티브 생성 조건을 만족할 때 적용된다.
• 이전 과정은 수반 관계 $\mathscr{Q} \dashv \int$의 단위(unit)가 약한 동치임을 보여야 하며, 이는 레마 3.8을 통해 확립된다.
• 유도된 입방형 집합의 모델 구조를 기존의 $\infty$-군환에 대한 그로텐디크 모델 구조와 비교하여, 기하적 실현과 단순형 호모토피 유형을 통해 퀄렌 동치임을 보인다.
• 이 증명은 $\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i$와 $\mathrm{T} Q^n$이 약한 동치인 단순형 집합임을 이용하며, $|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$ 및 $|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순형 집합의 범주는 연결을 가진 입방형 집합의 범주에서 공반사적 부분범주로 포함될 수 있는가?
• RQ2 직선화 함수가 단순형 집합에서 입방형 집합으로의 모델 구조 이전을 가능하게 하는 공반사(co-reflection)를 유도하는가?
• RQ3 이 공반사를 통해 $(\infty,1)$-범주들의 입방형 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 유도된 입방형 집합의 모델 구조는 단순형 집합에서의 조일 모델 구조와 퀄렌 동치인가?
• RQ5 새로운 입방형 모델 구조는 $\infty$-군환에 대한 그로텐디크 모델 구조와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 직선화 함수 $\mathscr{Q}$는 단순형 집합을 연결을 가진 입방형 집합의 범주로 완전 충실한 임베딩을 제공하며, 이로써 단순형 집합은 공반사적 부분범주가 된다.
• 역직선화 함수 $\int$는 공반사자(co-reflector)로 작용하며, 수반 관계 $\mathscr{Q} \dashv \int$의 단위가 약한 동치임을 레마 3.8에서 보였다.
• 오른쪽 유도 모델 구조는 단순형 집합의 원래 모델 구조와 동치이지만, 코프로덕티브 생성 조건이 단순형 집합에서 단사 사상으로서의 코프로덕티브 생성 조건을 만족할 때 적용된다.
• 입방형 집합의 유도된 모델 구조 $\mathsf{cSet}_{IJ}$는 입방형 설정에서 $(\infty,1)$-범주들의 호모토피 이론을 나타내는 것으로 알려진 첫 번째 모델이다.
• 항등함수는 $\mathsf{cSet}_{IQ}$(오른쪽 유도 쿼일렌 모델)와 $\mathsf{cSet}_G$(\infty$-군환에 대한 그로텐디크 모델) 사이의 퀄렌 동치를 형성한다.
• 기하적 실현을 통해 $|\mathrm{T} Q^n| \simeq \Delta^n$ 및 $|\mathrm{T} \mathscr{Q} \Lambda^n_i| \simeq |\Lambda^n_i|$임을 확인하였으며, 이는 유도된 필라션이 약한 동치임을 확인한다.