[논문 리뷰] A cocategorical obstruction to tensor products of Gray-categories

John Bourke, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 회색 범주(category of Gray-categories)에서 잘 정의된 모나드 이중폐쇄 구조(monoidal biclosed structure)가 존재하지 않음을 입증한다. 주요 원인은 중간 네 개의 교환 법칙(middle four interchange law)의 실패이다. 이는 Gray-범주 모델 범주가 모나드 모델 범주(monoidal model category)가 될 수 없음을 증명하며, 이는 회색 곱(tensor product)의 고차원 일반화를 방해한다.

ABSTRACT

It was argued by Crans that it is too much to ask that the category of Gray-categories admit a well behaved monoidal biclosed structure. We make this precise by establishing undesirable properties that any such monoidal biclosed structure must have. In particular we show that there does not exist any tensor product making the model category of Gray-categories into a monoidal model category.

연구 동기 및 목표

• 2-범주에서의 Gray-곱과 유사한 구조가 Gray-범주 범주에서 모나드 이중폐쇄 구조로 존재할 수 있는지 조사한다.
• 그러한 구조가 약한 변환과 일관성 있는 고차원 사상(coherent higher morphisms)을 지원할 수 있는지 판단한다.
• Gray-범주 모델 범주가 모나드 모델 범주가 될 수 있는지 검토한다.
• 고차원 범주에서 중간 네 개의 교환 법칙 실패로 인해 발생하는 차단 요인을 명확히 한다.

제안 방법

• 모나드 이중폐쇄 구조의 잠재적 곱을 분석하기 위해 범주적 대칭(duality)과 코범주적 추론(co_categorical reasoning)을 사용한다.
• Dense 함자에 沿해 모나드 구조를 확장하는 Day의 기법을, 짝수 제곱체(parities cubes)로 생성된 $\omega$-범주의 부분범주에 적용한다.
• $O(I^2)$ 위의 이중 코범주(double cocategory) 구조를 분석하여, Gray-범주 설정에서 중간 네 개의 교환 법칙 공리가 성립하지 않음을 보여준다.
• 모든 이중폐쇄 곱(tensor product)가 $O(I^2)$ 위의 이중 코범주 구조를 요구할 것이며, 이는 일관성 실패로 인해 불가능하다는 것을 입증한다.
• 표준 코범주 $\beta$가 $\mathbf{Cat}$에서 $\mathcal{V}_2$-Cat로 올리프트되지 않음을 활용하며, 이는 중간 네 개의 교환 법칙이 실패할 경우에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gray-범주 범주에서 약한 변환을 지원하는 모나드 이중폐쇄 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 Day의 확장 기법을 통해 Gray-곱의 구성 방식을 고차원으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 Gray-범주에서 중간 네 개의 교환 법칙 실패가 모나드 모델 범주 구조 존재를 방해하는가?
• RQ4 Gray-범주 맥락에서 수평 및 수직 코범주 구조를 모두 존중하는 $O(I^2)$ 위의 이중 코범주 구조를 형성할 수 있는가?

주요 결과

• 약한 변환을 위한 원하는 일관성 성질을 만족하는 Gray-범주 범주에서의 모나드 이중폐쇄 구조는 존재하지 않는다.
• 중간 네 개의 교환 법칙에 의한 장애로 인해 Gray-범주 모델 범주에 모나드 모델 범주 구조를 부여할 수 없다.
• 모든 그러한 곱에 의해 요구되는 $O(I^2)$ 위의 이중 코범주 구조는 중간 네 개의 교환 법칙을 만족하지 못하여, 부적합하다.
• 이 장애는 엄밀한 중간 네 개의 교환 법칙이 없을 경우 일관성 실패로 인해 기인하며, 조건이 Day의 방법으로 확장되더라도 여전히 발생한다.
• 이 결과는 Dolan의 반론을 고차원으로 일반화하며, 동일한 실패가 $\mathcal{V}_2$-Cat에서 이중폐쇄 곱의 존재를 방해함을 보여준다.