[논문 리뷰] A Coefficient of Determination (R2) for Linear Mixed Models

Hans‐Peter Piepho|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 03.

Statistical Methods and Bayesian Inference참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 혼합 모델을 위한 새로운 결정계수(R²)를 제안하며, 고정효과와 랜덤 효과, 이질분산성 및 상관관계 구조를 모두 고려한다. 총 분산을 고정효과에 의해 설명되는 분량과 잔차 분량으로 분해함으로써, 생물학적 및 복잡한 자료 설정에서 적용 가능한 보편적인 R² 측도를 제공한다.

ABSTRACT

Extensions of linear models are very commonly used in the analysis of biological data. Whereas goodness of fit measures such as the coefficient of determination (R2) or the adjusted R2 are well established for linear models, it is not obvious how such measures should be defined for generalized linear and mixed models. There are by now several proposals but no consensus has yet emerged as to the best unified approach in these settings. In particular, it is an open question how to best account for heteroscedasticity and for covariance among observations induced by random effects. This paper proposes a new approach that addresses this issue and is universally applicable. It is exemplified using three biological examples.

연구 동기 및 목표

• 생물학적 및 복잡한 자료 설정에서 선형 혼합 모델에 대한 보편적으로 인정받는 R² 측도가 부족한 문제를 해결한다.
• 기존의 R² 확장 방법들이 랜덤 효과와 공분산 구조를 올바르게 반영하지 못하는 한계를 극복한다.
• 다양한 실험 설계에 적용 가능한 일관되고 해석 가능한 적합도 측도를 제공한다.
• 랜덤 효과로 인해 분산 성분이 이질적이거나 상관관계가 있을 경우에도 R² 측도가 의미를 유지하도록 보장한다.
• 세 가지 실제 생물학적 사례를 통해 방법의 실용적 관련성을 검증한다.

제안 방법

• 총 분산을 고정효과에 의해 설명되는 분산과 잔차 분산 성분으로 분해하는 분산 분해 방법을 제안한다.
• 고정효과에 의해 설명된 분산의 비율을 총 분산에 대한 비율로 삼아 핵심 R² 측도를 정의하며, 랜덤 효과를 조정한다.
• 총 변동성 추정치에 잔차 분산과 랜덤 효과의 분산 성분을 모두 통합한다.
• 랜덤 효과 구조를 고려한 조건부 R² 공식을 적용하여 고정효과에 의해 설명되는 분산의 비율을 반영한다.
• 혼합 모델에서 편향 없는 추정을 보장하기 위해 제한 최대우도( REML)를 사용하여 분산 성분을 추정한다.
• 시뮬레이션과 실제 자료 사례를 통해 방법을 검증하여 다양한 실험 설계에서 일관성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정효과와 랜덤 효과를 모두 고려한 선형 혼합 모델에 대해 통합된 R² 측도를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 혼합 모델에서 총 분산을 어떻게 분할하여 고정효과에 의해 설명되는 분산 비율을 반영할 수 있는가?
• RQ3 제안된 R²는 랜덤 효과로 인해 발생하는 이질분산성과 상관관계가 있는 관측치에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 복잡한 분산-공분산 구조를 가진 다양한 생물학적 실험 설계에 대해 새로운 R² 측도를 일관되게 적용할 수 있는가?
• RQ5 기존의 R² 확장 방법과 비교할 때 제안된 R²는 해석 가능성과 통계적 성질 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 R² 측도는 고정효과와 랜덤 효과를 모두 고려함으로써 선형 혼합 모델에 대해 일관되고 해석 가능한 적합도 통계량을 제공한다.
• 랜덤 효과의 분산 성분을 총 변동성에 통합함으로써 이질분산성과 상관관계 구조를 효과적으로 처리한다.
• 고정효과가 더 많은 변동성을 설명할수록 R² 값은 일관되게 높아지고, 잔차 또는 랜덤 성분의 변동성이 지배할 경우 낮아진다.
• 복잡한 공분산 구조를 가진 다양한 유형의 선형 혼합 모델에 보편적으로 적용 가능하다.
• 세 가지 생물학적 사례에서 제안된 R²는 모델 적합도가 향상될수록 증가하고 노이즈가 추가될수록 감소하는 직관적인 행동을 보였다.
• 기존의 R² 확장 방법의 함정을 피하기 위해 표준 가정 하에서 측도가 항상 0에서 1 사이에 있도록 보장한다.