[논문 리뷰] A cohomological description of connections and curvature over posets

John E. Roberts, Giuseppe Ruzzi|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 순서가 붙은 집합(포스셋, poset) 위에서 게이지 이론을 위한 코homological 프레임워크를 개발한다. 주어진 구조군 G에 대한 주다발, 접속, 곡률을 비아벨 Čech 유형 코homology를 사용하여 모델링한다. 접속은 1-코체이며 곡률은 그 2-코boundary임을 증명하고, 암브로즈-싱어 정리의 유사체를 증명하며, 평탄한 접속이 포스셋의 기본군에서 구조군 G로의 군 준동형사상과 일대일 대응됨을 보여준다.

ABSTRACT

What remains of a geometrical notion like that of a principal bundle when the base space is not a manifold but a coarse graining of it, like the poset formed by a base for the topology ordered under inclusion? Motivated by finding a geometrical framework for developing gauge theories in algebraic quantum field theory, we give, in the present paper, a first answer to this question. The notions of transition function, connection form and curvature form find a nice description in terms of cohomology, in general non-Abelian, of a poset with values in a group $G$. Interpreting a 1--cocycle as a principal bundle, a connection turns out to be a 1--cochain associated in a suitable way with this 1--cocycle; the curvature of a connection turns out to be its 2--coboundary. We show the existence of nonflat connections, and relate flat connections to homomorphisms of the fundamental group of the poset into $G$. We discuss holonomy and prove an analogue of the Ambrose-Singer theorem.

연구 동기 및 목표

• 스페이스타임이 다양체가 아니라 포스셋으로 모델링되는 대칭형 양자장이론에서 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 코homological 방법을 사용하여 주다발, 접속, 곡률을 포스셋으로 일반화하기 위해.
• 평탄한 접속과 포스셋의 기본군에서 구조군 G로의 군 준동형사상 사이의 대응관계를 확립하기 위해.
• 이 코homological 설정에서 호로노미와 게이지 변환을 정의하고 분석하기 위해.
• 포스켓 위의 다발 이론적 구조를 기반으로 한 대칭형 양자장이론을 구성하기 위한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 표준 단체 포스켓에서 K로의 순서를 유지하는 사상들을 사용하여, 포스켓 K 위의 단체적 집합(의미상의 단체 집합)을 정의한다.
• 군 G 값의 포스켓의 1-코homology를 도입하며, 1-코사이클을 주다발과 일치시킨다.
• 전이 함수(1-코사이클)와의 호환 조건을 만족하는 1-코체로 접속을 정의한다.
• 접속의 2-코boundary로 곡률을 정의하며, 기존의 미분기하학적 개념을 일반화한다.
• 1-코사이클의 자동형사상으로서 게이지 변환의 군을 구성하며, 접속 위에 코너지션을 통해 작용한다.
• 포스켓 내 경로를 따라 정의된 호로노미를 사용하여 암브로즈-싱어 정리의 유사체를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체에서 포스켓으로 주다발, 접속, 곡률의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비아벨 군 G 값의 포스켓 맥락에서 접속과 곡률의 코homological 해석은 무엇인가?
• RQ3 평탄한 접속은 포스켓의 기본군에서 G로의 군 준동형사상과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 코homological 프레임워크에서 호로노미와 게이지 변환을 정의할 수 있으며, 그것들이 표준 정리의 유사체를 만족하는가?
• RQ5 접속 위에 작용하는 게이지 군의 구조는 무엇이며, 그것은 포스켓의 위상구조에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 포스켓 위의 주다발에 대한 접속은 곡률이 접속의 2-코boundary인 1-코체로 기술된다.
• 비평탄한 접속이 존재함을 보여주며, 이는 포스켓 설정에서도 곡률이 비자명함을 시사한다.
• 평탄한 접속은 포스켓의 기본군에서 G로의 군 준동형사상과 일대일 대응된다.
• 포스켓 내 경로를 따라 정의된 호로노미는 잘 정의되어 있으며, 암브로즈-싱거 정리의 일종의 형태를 만족한다.
• 게이지 변환의 군은 접속 위에 코너지션을 통해 작용하며, G가 아벨이거나 포스켓이 단순연결이면 이 군은 G와 동형이다.
• 게이지 군의 접속 위 작용은 자유가 아니며, 영 접속은 모든 게이지 변환에 의해 고정된다.