[논문 리뷰] A Coinductive Version of Milner's Proof System for Regular Expressions Modulo Bisimilarity

Clemens Grabmayer|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 11인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비유사성에 대한 정규표현식의 Milner의 증명 체계를 공인수적 재구성하여, 비대칭적 고정점 규칙을 대체로 LEE-형태의 순환 유도를 허용하는 규칙으로 바꾸었다. 이로써 유도된 체계 cMil과 공인수적 조합 체계 CLC가 Milner의 원래 체계와 정리적으로 동치임을 증명함으로써 고정점 규칙이 추가하는 유도 능력을 규명하고, 그래프 기반의 공인수적 추론을 통한 완전성 증명의 새로운 길을 제시한다.

ABSTRACT

By adapting Salomaa's complete proof system for equality of regular expressions under the language semantics, Milner (1984) formulated a sound proof system for bisimilarity of regular expressions under the process interpretation he introduced. He asked whether this system is complete. Proof-theoretic arguments attempting to show completeness of this equational system are complicated by the presence of a non-algebraic rule for solving fixed-point equations by using star iteration. We characterize the derivational power that the fixed-point rule adds to the purely equational part $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ of Milner's system $ ext{$ ext{Mil}$}$: it corresponds to the power of coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ that have the form of finite process graphs with the loop existence and elimination property $ ext{LEE}$. We define a variant system $ ext{cMil}$ by replacing the fixed-point rule in $ ext{Mil}$ with a rule that permits $ ext{LEE}$-shaped circular derivations in $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$ from previously derived equations as a premise. With this rule alone we also define the variant system $ ext{CLC}$ for merely combining $ ext{LEE}$-shaped coinductive proofs over $ ext{Mil$^{\boldsymbol{-}}$}$. We show that both $ ext{cMil}$ and $ ext{CLC}$ have proof interpretations in $ ext{Mil}$, and vice versa. As this correspondence links, in both directions, derivability in $ ext{Mil}$ with derivation trees of process graphs, it widens the space for graph-based approaches to finding a completeness proof of Milner's system. This report is the extended version of a paper with the same title presented at CALCO 2021.

연구 동기 및 목표

• Milner의 고정점 규칙 RSP*가 그의 증명 체계의 등식 핵심 Mil´에 추가하는 유도 능력을 규명하기 위해.
• 오랜 기간 동안 미해결된 Milner 체계의 완전성 문제를 해결하기 위해, 고정점 해법을 위한 필수 추론을 포괄하는 공인수적 프레임워크를 규명하기 위해.
• LEE-형태의 공인수적 증명을 기반으로 하는 새로운 증명 체계 cMil을 개발하여 Milner 체계와 등가인 대체 형식을 제공하기 위해.
• Milner 체계, 공인수적 체계 cMil, 공인수적 조합 체계 CLC 간의 정리-등가성을 확립하여 증명 이론과 프로세스 그래프 의미론을 연결하기 위해.
• 자연스러운 유도 클래스(LEE-형태)를 규명하여 향후 완전성 증명의 기초를 마련하고, 이를 체계적으로 분석하고 단순화할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 1-전이와 층위형 루프 존재 및 제거(LLEE)를 갖춘 유한한 프로세스 그래프를 기반으로 하는 'LLEE-증명된 공인수적 증명'의 개념을 도입하며, 이 그래프의 정점은 스타 표현식 간의 등식으로 레이블링된다.
• Milner의 RSP* 규칙을 대체로, Mil´에서 이전에 증명된 등식들로부터 LEE-형태의 순환 유도를 통해 등식을 도출할 수 있도록 허용하는 규칙을 도입함으로써 새로운 증명 체계 cMil을 정의한다.
• LEE-형태의 공인수적 증명을 조합할 수 있는 핵심 체계인 CLC를 도입하여 복잡한 유도의 모듈식 구축을 가능하게 한다.
• Mil에서의 모든 유도가 cMil1(cMil의 변형)로 효과적으로 변환되고, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 보여주는 증명 변환을 수립한다.
• 구조적 귀납법과 프로세스 그래프 의미론을 사용하여, LEE-형태의 그래프가 Mil´-증명 가능한 등가성에 대해 유일하게 해결 가능한 감시 시스템과 대응됨을 증명한다.
• 기존의 1-비유사성 및 기능적 1-비유사성 결과를 활용하여, 스타 표현식의 프로세스 해석이 LLEE 1-차트의 이미지임을 보여주며, 프로세스 그래프 위에서의 공인수적 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Milner의 고정점 규칙 RSP*는 등식 핵심 Mil´에 어떤 구체적인 유도 능력을 추가하는가?
• RQ2 Milner 체계의 고정점 추론은 유한한 프로세스 그래프에 LEE 성질을 갖는 공인수적 증명 체계로 완전히 포괄될 수 있는가?
• RQ3 비대칭적 규칙을 피하고 순환적, 그래프 기반의 유도를 사용하는 공인수적 증명 체계는 Milner 체계와 등가인가?
• RQ4 CLC의 공인수적 체계에서의 유도는 깊이가 유한한 정규형으로 단순화될 수 있는가? 이는 완전성 증명의 길을 시사하는가?
• RQ5 LLEE-증명된 공인수적 증명은 스타 표현식의 의미론과 그 프로세스 해석과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Milner 체계의 고정점 규칙 RSP*는 Mil´ 위에서 LEE-형태의 순환 유도에 정확히 해당하는 유도 능력을 추가하며, 이는 LLEE-증명된 공인수적 증명 프레임워크에 의해 포괄된다.
• 공인수적 체계 cMil은 양방향 효과적 증명 변환을 통해 Milner의 원래 체계 Mil과 정리적으로 동치임을 입증하였다.
• LEE-형태의 공인수적 증명을 조합하는 체계 CLC 역시 Mil과 정리적으로 동치이며, 비유사성에 대한 추론을 위한 모듈식 기반을 제공한다.
• Mil의 모든 유도는 LLEE-증명된 공인수적 증명을 통해 RSP* 적용을 모방하는 방식으로 cMil1로 효과적으로 변환될 수 있다.
• Milner 체계의 1-free 부분에 대한 완전성 증명 [13]이 CLC에서 깊이 2의 유도에 의해 모방됨을 보여주며, 공인수적 유도에 대한 잠재적 정규형을 시사한다.
• 모든 스타 표현식의 프로세스 해석은 기능적 1-비유사성에 의해 LLEE 1-차트의 이미지임을 보여주며, 문법과 그래프 구조 사이의 의미론적 다리를 놓는다.