[논문 리뷰] A Collatz-Wielandt characterization of the spectral radius of order-preserving homogeneous maps on cones

Marianne Akian, Stéphane Gaubert외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 27.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 30인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간의 정상 코너 위에서 순서를 유지하고 양의 동차성을 갖는 사상의 스펙트럼 반경에 대한 일반화된 콜라츠-비란트 특성화를 수립한다. 스펙트럼 반경은 코너 내부의 수퍼에이전벡터에 대한 스케일링 인자들의 하한과 같으며, 코너의 본질적 스펙트럼 반경을 포함하는 준콤팩트성 조건이 만족될 경우, 닫힌 코너 내의 고유벡터에 관련된 최대 고유값과도 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

Several notions of spectral radius arise in the study of nonlinear order-preserving positively homogeneous self-maps of cones in Banach spaces. We give conditions that guarantee that all these notions lead to the same value. In particular, we give a Collatz-Wielandt type formula, which characterizes the growth rate of the orbits in terms of eigenvectors in the closed cone or super-eigenvectors in the interior of the cone. This characterization holds when the cone is normal and when a quasi-compactness condition, involving an essential spectral radius defined in terms of $k$-set-contractions, is satisfied. Some fixed point theorems for non-linear maps on cones are derived as intermediate results. We finally apply these results to show that non-linear spectral radii commute with respect to suprema and infima of families of order preserving maps satisfying selection properties.

연구 동기 및 목표

• 순서를 유지하고 양의 동차성을 갖는 사상의 스펙트럼 반경에 대한 다양한 개념을 통합하고 확장하기.
• 궤도, 수퍼에이전벡터, 고유벡터에 기반한 서로 다른 스펙트럼 반경 정의가 일치하는 조건을 수립하기.
• 비선형 사상에 대한 고전적 콜라츠-비란트 정리의 비선형 해석을 제공하여, 비선형, 순서를 유지하고 양의 동차성을 갖는 사상에 대해 일반 정상 코너에 적용 가능하도록 하기.
• 중간 결과로서 코너 위의 비선형 사상에 대한 고정점 정리를 도출하기.
• 선택 성질을 만족하는 스펙트럼 반경이 상한과 하한과 동시에 교환 가능함을 보여주기.

제안 방법

• k-집합 수축과 일반화된 비콤팩트성 측도를 이용해 코너의 본질적 스펙트럼 반경의 개념을 도입한다.
• 비팽창성 사상 이론과 톰슨 거리의 이론을 적용하여 코너 내 궤도의 행동을 분석한다.
• 코너 내부의 수퍼에이전벡터와 닫힌 코너 내의 고유벡터 개념을 사용하여 궤도 성장의 상한을 구한다.
• 유계 집합에서의 균일 연속성과 코너의 정상성 조건을 이용해 콜라츠-비란트 특성화의 타당성을 보장한다.
• 코너 위의 비선형 사상에 대한 고정점 정리를 적용하여 스펙트럼 반경의 특성화를 유도한다.
• 상한과 하한 선택을 통해 사상의 집합을 분석하여 상한과 하한의 스펙트럼 반경을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서를 유지하고 동차성을 갖는 사상에 대해 코너 위에서 정의된 스펙트럼 반경의 서로 다른 정의가 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형, 순서를 유지하고 동차성을 갖는 사상에 대해 일반 정상 코너 위에서 선형 사상의 콜라츠-비란트 특성화를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 k-집합 수축을 통해 정의된 코너의 본질적 스펙트럼 반경은 스펙트럼 반경에 대응하는 고유벡터의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 순서를 유지하는 사상의 집합의 점별 상한과 하한에 대해 스펙트럼 반경은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 스펙트럼 반경이 닫힌 코너 내의 비자명한 고유벡터에 대응하는 최대 고유값과 일치하는 경우는 언제인가?

주요 결과

• 정상 코너 C 위에서 양의 동차성과 순서 유지 성질을 갖는 사상 f에 대해 스펙트럼 반경 r(f, C)는 \inf\{\lambda > 0 \mid \exists u \in \mathrm{int}\,C,\ f(u) \leq \lambda u\} 와 같으며, 이는 일반화된 콜라츠-비란트 공식을 수립한다.
• f의 코너 본질적 스펙트럼 반경이 r(f, C)보다 엄격히 작을 경우, 스펙트럼 반경은 \max\{\mu \geq 0 \mid \exists v \in C \setminus \{0\},\ f(v) = \mu v\} 와도 일치하며, 이는 비자명한 고유벡터의 존재를 보장한다.
• 선택 성질을 만족하는 순서를 유지하고 동차성을 갖는 사상의 집합에 대해 스펙트럼 반경은 상한과 하한과 교환 가능하다. 즉, 적절한 연속성과 정상성 조건 하에서 r(\sup f_a, C) = \sup r(f_a, C) 및 r(\inf f_a, C) = \inf r(f_a, C) 가 성립한다.
• 결과는 비선형, 동차성, 순서 유지 성질을 갖는 사상에 대해 고전적 콜라츠-비란트 정리를 비선형 사상에 대해 일반화하여, 일반 정상 코너에 적용 가능하게 한다.
• f의 어떤 반복이 컴팩트일 경우 코너의 본질적 스펙트럼 반경은 0이 되며, 이는 고유벡터 특성화를 위한 핵심 조건을 만족한다.
• 제시된 조건 하에서 무한차원 바나흐 공간에서도 스펙트럼 반경을 달성하는 비자명한 고유벡터의 존재가 보장된다.