[논문 리뷰] A comment on Intersecting Families of Permutations

Yuval Filmus|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 30.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 엘리스, 프리드구트, 필펠(2011)에서 제시한 순열의 $t$-교차 가족의 극값 특성에 대한 증명에서 심각한 결함을 밝혀낸다. 특히, 최대 크기 $(n-t)!$ 를 갖는 유일한 가족은 $t$-코스에 국한된다는 주장의 근거가 잘못되어 있음을 밝힌다. 비록 주요 결과 — 즉, such 가족들은 $(n-t)!$ 이하의 크기를 가지며, 등호는 오직 $t$-코스일 때만 성립한다는 것 — 는 그대로 유지되지만, 원래 증명에서의 유일성에 대한 추론은 잘못되었다. 이 논문은 해당 증명의 핵심 레퍼런스에 사용된 보조정리들에 대한 반례를 제시하고, 엘리스(2011)의 다른 증명을 통해 주요 결과의 정확성을 확인한다.

ABSTRACT

Ellis, Friedgut and Pilpel proved that for large enough $n$, a $t$-intersecting family of permutations contains at most $(n-t)!$ permutations. Their main theorem also states that equality holds only for $t$-cosets. We show that their proof of the characterization of extremal families is wrong. However, the characterization follows from a paper of Ellis, as mentioned already by Ellis, Friedgut and Pilpel.

연구 동기 및 목표

• 엘리스, 프리드구트, 필펠(2011)에서 제시한 순열의 $t$-교차 가족의 극값 가족이 유일함을 증명하는 데서 발생한 결함을 식별하고 수정한다.
• 원래 증명의 결함에도 불구하고, 주요 결과 — 즉, $t$-교차 가족의 크기는 $(n-t)!$ 이하이며, 등호는 오직 $t$-코스일 때만 성립한다 — 는 그대로 유지됨을 보여준다.
• EFP11의 정리 27과 정리 29에 대한 명시적 반례를 제시하여, 이들이 그들의 유일성 논증의 핵심이 되었음을 확인한다.
• EFP11에서 언급한 바와 같이, 올바른 특성화는 엘리스(2011)의 결과로부터 유도되며, 이 결과들 간의 논리적 의존성에 대한 명확화를 시도한다.

제안 방법

• 정의된 부울 함수 $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ 또는 } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$ 는 $V_2$ 에 属하지만, 그 지지부가 어떤 $2$-코스도 포함하지 않으며, 이는 EFP11의 정리 27에 위배된다.
• 포함배제 원리를 사용하여 $k+1$개의 점에 대해 일반화함으로써, 임의의 짝수 $k \geq 2$ 에 대해 반례를 제시하며, $f \in V_k$ 이지만 $f$ 의 지지부에 $k$-코스가 포함되지 않는다는 점을 보여준다.
• EFP11의 정리 29에서 오류를 밝혀내었으며, 이는 이중스토케스틱 행렬에 대한 비르코프 정리의 일반화를 주장했지만, 조건 (S1)을 만족하면서도 (S2)를 만족하지 않는 반례 행렬을 구성함으로써 이를 뒷받침한다.
• 엘리스(2011)가 독립적으로 주요 결과를 증명했음을 이용하여, $1_I \in V_k$ 이면 $I$ 는 $k$-코스여야 한다는 점을 보여주며, 이는 잘못된 논증을 우회하는 방식으로 유일성 주장의 타당성을 확인한다.
• 슬라이스 $J(n,k)$ 상의 부울 함수와 그 $S_n$ 으로의 업프로젝션 간의 관계를 분석하여, 정리 27J가 특정 2차 함수에 대해 실패할 수 있음을 보이고, 반면 그 여집합에 대해서는 성립함을 밝힌다.
• 정리 27J의 수정된 버전을 제안하며, 부울 함수 $f$ 가 $J(n,k)$ 상에 정의될 경우, $f$ 또는 $1-f$ 가 차수 $r_d$ 의 단항식의 합으로 표현될 수 있으며, $r_d$ 는 차수와 다항식적으로 관련이 있음을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엘리스, 프리드구트, 필펠(2011)에서 제시한 순열의 $t$-교차 가족의 극값 가족이 오직 $t$-코스임을 올바르게 증명했는가?
• RQ2 함수 $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ 또는 } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$ 는 $V_2$ 에 속하지만, $2$-코스의 서로소 합집합이 아니며, 따라서 EFP11의 정리 27에 위배되는가?
• RQ3 EFP11의 정리 29 조건을 만족하면서도 순열 행렬의 볼록 조합이 아닌 이중스토케스틱 행렬을 구성할 수 있는가? 이는 정리의 무효성을 입증한다.
• RQ4 EFP11의 잘못된 논증을 배제하고도, $t$-코스가 유일한 극값 $t$-교차 가족임을 증명할 수 있는 타당한 대체 증명이 존재하는가?
• RQ5 슬라이스 $J(n,k)$ 상의 부울 함수에 대해, 차수 $d$ 의 함수가 비음수 차수-$d$ 단항식의 합으로 표현될 수 있다고 주장하는 정리 27J는 수정 또는 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 엘리스, 프리드구트, 필펠(2011)에서 제시한 증명은 $t > 1$ 인 경우 잘못되었으며, 특히 정리 27과 정리 29의 오류로 인해 발생한다.
• 반례로, $V_2$ 에 속하지만 지지부에 어떤 $2$-코스도 포함하지 않는 부울 함수 $f$ 를 구성함으로써, EFP11의 정리 27를 반박한다.
• 이 반례는 임의의 짝수 $k \geq 2$ 에 대해 일반화되며, $V_k$ 에 속하는 함수가 반드시 $k$-코스의 서로소 합집합이 아니라는 점을 보여준다.
• 정리 29에 대한 반례로, 조건 (S1)을 만족하지만 (S2)를 만족하지 않는 행렬을 구성함으로써, 비르코프 정리의 일반화 주장이 잘못되었음을 입증한다.
• 비록 원래 증명이 잘못되었더라도, 주요 결과 — 즉, $t$-교차 가족의 크기는 $(n-t)!$ 이하이며, 등호는 오직 $t$-코스일 때만 성립한다 — 는 엘리스(2011)의 결과로 여전히 타당하다.
• 슬라이스 $J(n,k)$ 상의 특정 2차 함수에 대해 정리 27J가 실패함을 확인함으로써, 수정된 분해 정리의 경우 $f$ 또는 $1-f$ 에 대한 조건이 필요하며, 명확한 증거 복잡도 개념을 활용하는 것이 바람직하다는 시사점을 제공한다.