[논문 리뷰] A common approach to Brocard's problem, Landau's problem, and the twin prime problem

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 24.

Coding theory and cryptography인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 브로카르의 문제, n²+1 형태의 소수에 관한 랑게의 추측, 쌍둥이 소수 문제를 디오판틴 방정식 체계를 통해 연결하는 새로운 논리적 프레임워크를 제안한다. f(n)의 급격히 증가하는 함수와 관련된 시스템 A와 B를 구성함으로써, 랑게의 추측이 알려진 알고리즘 문장과 동치인 유한성 조건을 함의함을 보이며, 이러한 소수의 무한성을 증명하지는 않지만 히우리스틱적 지원을 제공한다.

ABSTRACT

Let f(1)=2, f(2)=4, f(n+1)=f(n)! for n>1. E.Landau's conjecture states that the set P(n^2+1) of primes of the form n^2+1 is infinite. This conjecture implies the following unproven statement F: card(P(n^2+1)) P(n^2+1) subset [2,f(7)]. Let B denote the system: {x_i!=x_k: i,k in {1,...,9}} cup {x_i cdot x_j=x_k: i,j,k in {1,...,9}}. We write down a system U subset B of 9 equations which has exactly two solutions in positive integers x_1,...,x_9: (1,...,1) and (f(1),...,f(9)). We write down a system A subset B of 8 equations. Let L denote the statement: if the system A has at most finitely many solutions in positive integers x_1,...,x_9, then each such solution (x_1,...,x_9) satisfies x_1,...,x_9 leq f(9). The statement L is equivalent to the statement F. This heuristically proves the statement F. This proof does not yield that card(P(n^2+1))=omega. We explain the distinction between existing algorithms (i.e. algorithms whose existence is provable in ZFC) and known algorithms (i.e. algorithms whose existence is constructive and currently known to us). Conditions (1)-(5) concern sets X subset N. (1) There are many elements of X and it is conjectured that X is infinite. (2) No known algorithm with no input returns the logical value of the statement card(X)=omega. (3) A known algorithm for every k in N decides whether or not k in X. (4) A known algorithm with no input returns an integer n satisfying card(X) X subset (-infty,n]. (5) X has the simplest definition among known sets Y subset N with the same set of known elements. *** The set X={k in N: (f(7) (f(7),k) cap P(n^2+1) neq emptyset} satisfies conditions (1)-(4). No set X subset N will satisfy conditions (1)-(4) forever, if for every algorithm with no input, at some future day, a computer will be able to execute this algorithm in 1 second or less. The statement F implies that conditions (1)-(5) hold for X=P(n^2+1).

연구 동기 및 목표

• n²+1 형태의 소수에 관한 랑게의 추측과 특정 디오판틴 방정식 체계의 해에 대한 유한성 조건 사이의 논리적 동치성을 수립하는 것.
• 랑게의 추측의 진리가 P(n²+1)에 속하는 원소의 소속성을 결정하는 알고리즘이 존재함을 함의함을 보여주는 것.
• ZFC에서 증명 가능한 알고리즘과 구축 가능하게 이용 가능한 알고리즘 사이의 차이를 P(n²+1)를 사례 연구로 하여 명확히 하는 것.
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅}라는 집합이 알고리즘 결정 가능성과 무한성과 관련된 네 가지 핵심 조건 (1)-(4)를 만족함을 보이는 것.
• 미래의 계산 능력이 모든 알고리즘을 1초 이내로 실행할 수 있게 된다면, 어떤 집합 X ⊆ ℕ도 조건 (1)-(4)를 영구히 만족시킬 수 없으며, 이는 이러한 집합들에 대한 현재의 지식에 한계가 있음을 시사한다.

제안 방법

• f(1)=2, f(2)=4, f(n+1)=f(n)! (n>1)를 만족하는 급격히 증가하는 함수 f(n)를 정의하여, 해의 범위를 묶는 데 관련된 매우 큰 값을 생성하는 것.
• 변수 x₁부터 x₉에 대한 계승과 곱셈을 포함하는 9개의 방정식으로 이루어진 시스템 B를 구성하며, 그 해로 (1,…,1)과 (f(1),…,f(9))가 포함됨을 보장하는 것.
• 시스템 B의 부분집합인 8개의 방정식으로 이루어진 시스템 A를 구성하며, 시스템 A의 모든 해가 f(9) 이하로 유 bounds됨을 의미하는 문장 L이, card(P(n²+1)) = ω라는 문장 F와 논리적으로 동치임을 보이는 것.
• L과 F 사이의 동치성을 이용하여, L이 참이라면 시스템 A의 모든 해를 유한하게 묶는 알고리즘이 존재함을 함의하며, 이는 P(n²+1)에 속하는 원소의 소속성을 결정하는 알고리즘이 존재함을 의미함.
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅}로 정의된 집합을 만들고, 이가 무한성, 결정 가능성, 유계성과 관련된 조건 (1)-(4)를 만족함을 보이는 것.
• '존재하는' 알고리즘(즉, ZFC에서 증명 가능한)과 '알려진' 알고리즘(즉, 구축적으로 이용 가능한) 사이의 차이를 구분하며, 미래의 계산 속도 향상으로 인해 이러한 조건을 만족하는 집합의 지속성이 무너질 수 있음을 논증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n²+1 형태의 소수에 관한 랑게의 추측은 특정 디오판틴 방정식 체계의 해에 대한 유한성 조건으로 논리적으로 축약될 수 있는가?
• RQ2 P(n²+1)의 무한성과 특정 정수 계수 방정식 체계 A의 해의 유계성 사이에 구축 가능한 동치성이 존재하는가?
• RQ3 급격히 증가하는 함수 f(n)은 수론적 추측과 알고리즘 결정 가능성 사이의 연결 고리로 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 집합 X ⊆ ℕ이 (1) 추측된 무한성과 (3) 알려진 알고리즘 소속성, 그리고 알려진 정수에 의해 유계됨을 동시에 만족할 수 있는가?
• RQ5 미래의 초고속 계산을 가정할 경우, 조건 (1)-(4)를 만족하는 집합들의 장기적 타당성은 어떻게 영향을 받는가?

주요 결과

• 시스템 A의 모든 해가 f(9) 이하로 유 bounds됨을 의미하는 문장 L은, card(P(n²+1)) = ω라는 문장 F와 논리적으로 동치이다.
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅}라는 집합은 조건 (1)-(4)를 모두 만족하며, 이는 추측된 무한성, 알려진 소속성 알고리즘, 유계성 포함.
• 모든 입력이 없는 알고리즘에 대해 미래의 컴퓨터가 1초 이내로 실행할 수 있다면, 어떤 집합 X ⊆ ℕ도 조건 (1)-(4)를 영구히 만족시킬 수 없다.
• 이 증명은 card(P(n²+1)) = ω임을 증명하지는 않지만, 유한성 문장과의 논리적 동치성을 통해 히우리스틱적 지원을 제공한다.
• '존재하는' 알고리즘과 '알려진' 알고리즘의 차이는 핵심적이다: ZFC는 P(n²+1)에 대한 알고리즘의 존재를 증명하지만, 현재로서는 그러한 알고리즘이 구축적으로 알려져 있지 않다.
• 랑게의 추측이 참이라면, X = P(n²+1)에 대해 조건 (1)-(5)가 모두 성립하며, 이는 수론적 추측과 알고리즘 지식 사이에 깊은 구조적 연결 고리가 있음을 시사한다.