[논문 리뷰] A compact high-order gas-kinetic scheme on unstructured mesh for acoustic and shock wave computations

Fengxiang Zhao, Xing Ji외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 62인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동, 특히 충격파와 음향파를 정확하고 안정적으로 시뮬레이션하기 위해 비정점 삼각형 메esh에서 고차수(4차~6차)의 단순한 가스역학적 방법을 제시한다. 이 방법은 시간 정확한 가스 분포 함수를 활용하여 세포 경계에서 유량과 유동 변수를 제공함으로써, 두 단계의 스킴을 통해 고차수 재구성과 4차 시간 정확도를 달성하며, 제한기나 문제 셀 탐지가 필요 없이 뛰어난 해상도와 안정성을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper an even higher-order compact GKS up to sixth order of accuracy will be constructed for the shock and acoustic wave computation on unstructured mesh. The compactness is defined by the physical domain of dependence for an unstructured triangular cell, which may involve the closest neighbors of neighboring cells. The compactness and high-order accuracy of the scheme are coming from the consistency between the high-order initial reconstruction and the high-order gas evolution model under GKS framework. The high-order evolution solution at a cell interface provides not only a time-accurate flux function, but also the time-evolving flow variables. Therefore, the cell-averaged flow variables and their gradients can be explicitly updated at the next time level from the moments of the same time-dependent gas distribution function. Based on the cell averages and cell-averaged derivatives, both linear and nonlinear high-order reconstruction can be obtained for macroscopic flow variables in the evaluation of local equilibrium and non-equilibrium states. The current nonlinear reconstruction is a combination of WENO and ENO methodology. The initial piecewise discontinuous reconstruction is used for the determination non-equilibrium state and an evolved smooth reconstruction for the equilibrium state. The evolution model in gas-kinetic scheme is based on a relaxation process from non-equilibrium to equilibrium state. The accuracy, efficiency, and robustness of the scheme have been validated. The main conclusion of the paper is that beyond the first-order Riemann solver, the use of high-order gas evolution model seems necessary in the development of high-order schemes.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 흐름과 불연속성을 동시에 정확하게 해석할 수 있는 비정점 메쉬 기반 고차수 단순 가스역학적 스킴 개발
• 기존 고차수 스킴이 단순성, 정확도, 충격파 포착 능력의 균형을 이루는 데에 한계를 보이는 문제 해결
• 고차수 시뮬레이션에서 문제 셀 탐지 및 인위적 제한 절차의 필요성 제거
• 두 단계만으로도 4차 시간 정확도를 달성하여 기존 룬게-쿠타 방법에 비해 계산 효율 향상
• 저속 점성 유동에서 고마하 수치의 충격파 상호작용에 이르기까지 광범위한 흐름에 대한 스킴 검증

제안 방법

• 세포 경계에서 고차수 가스 진동 모델을 사용하여 시간 정확한 유량과 변화하는 유동 변수를 제공함으로써, 세포 평균의 보존 변수와 그 기울기를 직접 갱신할 수 있도록 한다.
• 물리적 영향 영역에 기반한 컴팩트 스텐실을 정의하여 인접한 세포만을 포함함으로써 고병렬성과 낮은 메모리 사용을 확보한다.
• 세포 평균과 기울기를 바탕으로 선형 및 비선형 재구성을 유도하며, WENO와 ENO 방법론을 융합하여 불연속 영역에서의 강건성을 확보한다.
• 비평형 상태는 비연속 재구성으로 포착하고, 평형 상태는 부드러운 재구성으로 처리하며, 이들을 exp(−Δt/τ)로 모델링된 리라크스 과정을 통해 통합한다.
• 시간 정확한 가스 분포 함수는 자동으로 비점성 및 점성 유량을 결합하므로 별도의 유량 분할이 필요 없게 된다.
• 두 단계의 4차 시간 이산화를 적용하여 기존 표준 룬게-쿠타 방법에 비해 재구성 비용을 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정점 메쉬에서 고차수 단순 가스역학적 스킴이 부드러운 음향파와 강력한 충격파 모두에 대해 균일한 정확도와 강건성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 큰 스텐실이나 인위적 제한에 의존하지 않고 고차수 정확도와 컴팩트함을 동시에 달성할 수 있는가?
• RQ3 가스역학적 프레임워크가 단일 진동 모델을 통해 선형 및 비선형 재구성을 얼마나 잘 통합할 수 있는가?
• RQ4 두 단계 시간 통합 스킴이 기존 룬게-쿠타 방법에 비해 고차수 스킴에서 계산 비용을 줄이며 4차 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 문제 셀 탐지나 추가 제한기 없이도 스킴이 안정성과 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 컴팩트한 고차수 GKS는 비정점 삼각형 메쉬에서 최소한의 스텐실로 4~6차 정확도를 달성하며, 비컴팩트 스킴에 비해 계산 스텐실을 크게 줄였다.
• 불필요한 진동이나 추가 제한 절차 없이도 음향파와 충격파를 모두 정확히 포착하여 다양한 흐름 영역에서 강건성을 입증했다.
• 시간 정확한 가스 분포 함수는 점성 및 비점성 항을 분리하지 않고도 나비에-스토크스 유량을 직접 계산할 수 있게 하여 비정점 메쉬에서의 구현을 단순화한다.
• 두 단계의 4차 시간 통합은 기존 룬게-쿠타 방법에 비해 재구성 연산을 두 번 줄여 계산 효율을 향상시키면서도 정확도를 손상시키지 않았다.
• 스킴은 2차 충격파 포착 스킴과 유사한 시간 스텝 크기를 유지하여 고마하 수치의 흐름을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있었다.
• 충격-소용돌이 상호작용에 대한 수치 결과는, 구조적 메쉬에서 고차수 WNEO 스킴이 사용한 것보다 메쉬 크기가 10~20배 정도 더粗어도 기준 솔루션과 뛰어난 일치를 보였다.