[논문 리뷰] A compactification of the space of maps from curves

Bumsig Kim, Andrew Kresch외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $n$-점이 있는 곡선에서 비특이 프로젝티브 다양체 $X$로의 고리수 $g$의 안정된 분기 지도의 모듈리 공간의 새로운 컴actification인 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$를 구성한다. 이 컴 pactification은 자연스러운 가상 기본류를 지닌 적절한 딜레인-맘포드 스택이며, 이 클래스에 대한 적분을 통해 분기 Gromov-Witten 불변량을 정의할 수 있다.

ABSTRACT

We construct a new compactification of the moduli space of maps from pointed nonsingular projective stable curves to a nonsingular projective variety with prescribed ramification indices at the points. It is shown to be a proper Deligne-Mumford stack equipped with a natural virtual fundamental class.

연구 동기 및 목표

• 비특이 프로젝티브 다양체 $X$로의 고리수 $g$ 곡선에서의 사상의 모듈리 공간에 대해, $n$개의 마킹된 점에서 지정된 분기 지수 $\mu_i$를 갖는 적절한 컴 pactification을 구성하는 것.
• 푸르틴-맥퍼슨 구성 공간, 콘테비치의 안정 지도, 하리스-맘포드의 적합한 커버, 리의 안정 상대 지도의 네 가지 알려진 컴 pactification을 통합하는 것.
• 새로운 모듈리 공간 위에서 가상 기본류를 이용해 분기 Gromov-Witten 불변량을 정의하는 것.
• 판다리파ande의 추측에 따르면, 이러한 불변량과 대수기하학에서의 BPS 수와 잠재적인 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 목표 기하학으로서 푸르틴-맥퍼슨의 열린 분해 공간을 사용하며, $X[n] \times X$의 반복적인 블로우업을 통해 구축한다.
• 로그 구조와 (로그) 적합한 지도의 개념을 활용하여 분기와 적절성을 제어한다.
• 로그 지도의 디포매이션 이론을 적용하고, $R\pi_*(f^*T^\dagger_{\mathcal{W}}(-\sum \mu_i p_i))$의 쌍대를 통해 완전한 방해 이론을 구성한다.
• [4] 및 [21]의 가상 기본류 구성 방법을 활용하며, 프리스테이블 곡선과 FM 공간을 갖는 기저 스택 $\mathfrak{B}$의 대수성과 순수한 차원성을 기반으로 한다.
• 가상 기본류를 정의하기 위해 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta) \to \mathbb{P}TX$의 자연스러운 사상 $Te_i$를 도입하고, $\psi$-클래스 및 코homology 클래스의 역상에 의한 적분을 통해 불변량을 정의한다.
• [23] 및 [21]의 결과를 적용하여 가상 클래스의 존재를 보장하고, 적절성과 딜레인-맘포드 구조를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정된 분기 지도의 모듈리 공간에 대해, 안정 지도와 적합한 커버와 같은 알려진 컴 pactification을 포함하는 컴 pactification을 구성할 수 있는가?
• RQ2 결과로 얻어진 모듈리 공간이 자연스러운 가상 기본류를 지니며, 분기 설정에서 Gromov-Witten 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ3 특히 국소적으로 Fano인 경우, 분기 Gromov-Witten 불변량과 BPS 수 사이에 추측되는 연결 고리가 존재하는가?
• RQ4 이 컴 pactification을 통해 정의된 불변량이 판다리파ande의 추측에 따르면 알려진 정수 값을 갖는 BPS 불변량을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• $\overline{\mathfrak{U}}_{g,\mu}(X,\beta)$는 특성 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 적절한 딜레인-맘포드 스택이다.
• 자연스러운 가상 기본류를 지니며, 이는 분기 Gromov-Witten 불변량을 정의하는 데 적합하다.
• 푸르틴-맥퍼슨 구성 공간, 콘테비치의 안정 지도, 하리스-맘포드의 적합한 커버, 리의 안정 상대 지도의 네 가지 핵심 컴 pactification을 통합한다.
• $\mu = (1,\dots,1)$일 경우, 이 공간은 표준적인 분기 없는 Gromov-Witten 모듈리 공간 $\overline{\mathfrak{U}}_{g,n}(X,\beta)$로 축소되며, 고전적 불변량을 복원한다.
• 삼중체에서 국소적으로 Fano인 곡선 계열에 대해, 분기 불변량은 $n_{g,\beta}(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$로 추측되는 BPS 수와 일치할 것으로 예상되며, 이는 언니저의 결과(분기 없는 경우의 정수성)에 의해 지지된다.
• 로그 탄성층과 [23], [21]의 디포매이션 이론 도구를 활용하여, 완전한 방해 이론을 통해 가상 기본류가 구성된다.