[논문 리뷰] A comparative study of implicit Jacobian-free Rosenbrock-Wanner, ESDIRK and BDF methods for unsteady flow simulation with high-order flux reconstruction formulations

Lai Wang, Meilin Yu|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 09.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 42인용 수 8

한 줄 요약

이 연구는 고차수 유량 복원(FR/CPR) 방법을 사용한 비정상 흐름 시뮬레이션에 대해 제약 없는 라이아프로비안(Rosenbrock-Wanner, ROW), ESDIRK, BDF2 방법을 비교한다. GMRES 솔버와 요소-자기(preconditioning)를 적용한 가상의 임시 연속 방법을 사용하여, 저자들은 ROW 및 ESDIRK 방법이 BDF2보다 더 효율적임을 발견하였으며, 선형 솔버의 정밀도가 높을 경우 ROW가 ESDIRK를 능가할 수 있음을 확인하였다. 그러나 ESDIRK는 더 큰 시간 간격을 허용하며, 정밀도가 낮을 경우 더 견고한 성능을 보였다.

ABSTRACT

We conduct a comparative study of the Jacobian-free linearly implicit Rosenbrock-Wanner (ROW) methods, the explicit first stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) methods, and the second-order backward differentiation formula (BDF2) for unsteady flow simulation using spatially high-order flux reconstruction/correction procedure via reconstruction (FR/CPR) formulations. The pseudo-transient continuation is employed to solve the nonlinear systems resulting from the temporal discretizations with ESDIRK and BDF2. A Jacobian-free implementation of the restarted generalized minimal residual method (GMRES) solver is employed with a low storage element-Jacobi preconditioner to solve linear systems, including those in linearly implicit ROW methods and those from linearization of the nonlinear systems in ESDIRK and BDF2 methods. We observe that all ROW and ESDIRK schemes (from second order to fourth order) are more computationally efficient than BDF2, and ROW methods can potentially be more efficient than ESDIRK methods. However, the convergence tolerance of the GMRES solver for ROW methods needs to be sufficiently tight to preserve the nominal order of accuracy. In general, ESDIRK methods allow a larger physical time step size for unsteady flow simulation than ROW methods do.

연구 동기 및 목표

• 고차수 FR/CPR 이산화에 대해 제약 없는 ROW, ESDIRK, BDF2 시간 적분 방법의 정확도와 계산 효율성을 평가하기 위해.
• ROW 및 ESDIRK 방법의 비선형 및 선형 솔버 정밀도 설정이 비정상 흐름 시뮬레이션 성능에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 특히 벽에 둘러싸인 난류 흐름에서 복잡도 변화에 따라 이 방법들의 견고성과 정확도 순서 유지 능력을 평가하기 위해.
• 예비 조건화 및 카일로프 부분공간 솔버가 고차수 CFD 방법의 암시적 시간 적분 효율성에 미치는 역할을 분석하기 위해.
• 장기 비정상 시뮬레이션에서 시간 정확도, 안정성, 계산 비용 간 최적의 균형을 도출하기 위해.

제안 방법

• 나비에-스토크스 방정식의 공간 이산화에 고차수 유량 복원(FR/CPR)을 적용하였다.
• 다단계 시간 적분 방법을 적용: ROW(2차–4차), ESDIRK(2차–4차), BDF2를 시간 이산화에 사용하였다.
• 모든 방법에서 선형 시스템을 해결하기 위해 저메모리 요소-자기(preconditioner)를 적용한 제약 없는 GMRES 솔버를 사용하였다.
• ESDIRK 및 BDF2 방법에서 발생하는 비선형 시스템을 해결하기 위해 가상의 임시 연속 방법을 구현하였다.
• ROW의 선형 솔버 정밀도를 강하게 조절하여 명목상의 정확도 순서를 유지하였으며, ESDIRK 및 BDF2는 비용 절감을 위해 느슨한 정밀도 설정을 사용하였다.
• 오차 평가를 위해 기준 스펙트럼 해를 갖는 테일러-그린 소용리 붕괴 문제를 사용하여 수렴성 연구를 수행하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 FR/CPR 방법을 사용한 비정상 흐름 해석에서 ROW, ESDIRK, BDF2의 계산 효율성은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 선형 및 비선형 솔버 정밀도 설정이 ROW 및 ESDIRK 방법의 정확도와 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비정확한 선형 해를 사용할 경우 ROW 방법이 명목상의 정확도 순서를 유지할 수 있는가? 이는 전체 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비정상 흐름 시뮬레이션에서, 특히 벽에 둘러싸인 난류와 같은 복잡한 흐름에 대해 ROW 및 ESDIRK 방법이 허용하는 시간 간격은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 요소-자기 예비 조건화 방법의 성능이 고차수 시뮬레이션에서 ROW 방법의 효율성에 얼마나 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• ROW 및 ESDIRK 방법은 고차수 FR/CPR 방법을 사용한 비정상 흐름 시뮬레이션에서 BDF2보다 훨씬 더 계산 효율적이다.
• ROW의 선형 솔버 정밀도를 엄격하게 제어(예: 10−6)할 경우, ROW 방법이 ESDIRK 방법보다 더 효율적이다. 이는 시간 단위 당 더 나은 수렴 성능 때문이다.
• ESDIRK 방법은 ROW 방법보다 더 큰 물리적 시간 간격을 허용하여, 솔버 정밀도를 느슨하게 설정할 경우 전체 효율성이 향상된다.
• ROW 방법의 GMRES 솔버 수렴 정밀도는 충분히 낮아야(예: 10−6) 명목상의 정확도 순서를 유지할 수 있다. 정밀도가 낮을 경우 정확도 순서가 저하된다.
• ESDIRK 방법은 벽에 둘러싸인 비정상 흐름과 같은 다양한 흐름 조건에서 ROW 방법보다 더 견고하며, 정밀도 설정에 민감도가 낮고 일관된 성능을 보인다.
• 요소-자기 예비 조건화 방법의 성능은 ROW 방법의 효율성에 큰 영향을 미치며, 양호한 수렴 행동을 확보하기 위해 시간 간격을 제한한다. 반면 ESDIRK 방법은 더 큰 시간 간격에서도 효과적으로 작동한다.