[논문 리뷰] A Comparative Study of Limiting Strategies in Discontinuous Galerkin Schemes for the $M_1$ Model of Radiation Transport

Prince Chidyagwai, Martin Frank외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 30.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 48인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $M_1$ 복사 전송 모델을 해결하는 불연속 갈레르킨 방법에 대해 일차원 실현 가능성 제한기를 2차원으로 확장한다. 조건부 실현 가능성 제한기와 TVBM 기울기 제한기를 조합하는 것이, 삼각형 및 직사각형 메쉬에서 제3차 DG 스킴에서 해의 실현 가능성과 잡음 진동을 억제하는 데 필수적임을 보여준다.

ABSTRACT

The $M_1$ minimum entropy moment system is a system of hyperbolic balance laws that approximates the radiation transport equation, and has many desirable properties. Among them are symmetric hyperbolicity, entropy decay, moment realizability, and correct behavior in the diffusion and free-streaming limits. However, numerical difficulties arise when approximating the solution of the $M_1$ model by high order numerical schemes; namely maintaining the realizability of the numerical solution and controlling spurious oscillations. In this paper, we extend a previously constructed one-dimensional realizability limiting strategy to 2D. In addition, we perform a numerical study of various combinations of the realizability limiter and the TVBM local slope limiter on a third order Discontinuous Galerkin (DG) scheme on both triangular and rectangular meshes. In several test cases, we demonstrate that in general, a combination of the realizability limiter and a TVBM limiter is necessary to obtain a robust and accurate numerical scheme. Our code is published so that all results can be reproduced by the reader.

연구 동기 및 목표

• 고차수 불연속 갈레르킨 스킴이 $M_1$ 복사 전송 모델을 위해 겪는 수치적 불안정성, 특히 실현 가능성 상실과 잡음 진동을 해결하기 위해.
• 이전에 개발된 일차원 실현 가능성 제한 전략을 이차원 문제로 확장하기 위해.
• 실현 가능성 제한기와 TVBM 기울기 제한기의 다양한 조합이 해의 정확성과 안정성을 유지하는 데 미치는 영향을 평가하기 위해.
• 해의 엔트로피 감쇠 및 확산 및 자유류출 근사 근처에서의 정확한 거동과 같은 핵심 물리적 성질을 수치적 스킴이 유지하도록 보장하기 위해.
• 모든 보고된 결과의 재현 가능성을 보장하기 위해 오픈소스 코드를 제공하기 위해.

제안 방법

• 국소 재구성 기법을 사용하여 일차원 실현 가능성 제한기를 삼각형 및 직사각형 메쉬로 이차원으로 확장한다.
• $M_1$ 모멘트 시스템에 대해 제3차 불연속 갈레르킨 공간 이산화를 구현한다.
• 요소별 다항식 재구성에서 발생하는 잡음 진동을 제어하기 위해 TVBM(총 변동량 제한 최소값) 기울기 제한기를 적용한다.
• 실현 가능성 제한기와 TVBM 제한기를 조합하여 해의 실현 가능성과 변동량 제한을 동시에 강제한다.
• 안정성을 유지하면서 시간에 따라 해를 발전시키기 위해 예측-수정 시간 적분 기법을 사용한다.
• 정확성, 실현 가능성, 진동 제어를 평가하기 위해 기준 테스트 케이스로 스킴을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일차원 실현 가능성 제한기는 어떻게 삼각형 및 직사각형 메쉬로 효과적으로 이차원으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 실현 가능성 제한기와 TVBM 기울기 제한기 중 어느 것이 해의 안정성과 정확성 유지에 더 큰 기여를 하는가?
• RQ3 두 제한기의 조합은 강한 기울기와 불연속성이 있는 다양한 테스트 케이스에서 안정성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 다양한 제한기 조합은 엔트로피 감쇠 및 실현 가능성과 같은 물리적 성질의 유지에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 메쉬 유형(삼각형 대비 직사각형)의 선택이 제한 전략의 성능에 어느 정도의 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일차원 실현 가능성 제한기를 이차원으로 확장함으로써 삼각형 및 직사각형 메쉬에서 모두 모멘트 실현 가능성을 성공적으로 유지한다.
• 실현 가능성 제한기만을 사용할 경우 기울기가 급격히 변하는 영역에서 지속적인 잡음 진동이 발생하여 해의 기울기를 충분히 제어하지 못함을 시사한다.
• TVBM 기울기 제한기만 단독으로 사용할 경우 고차수 다항식 근사와 강한 복사장에서 실현 가능성이 유지되지 않음.
• 실현 가능성 제한기와 TVBM 제한기를 조합한 전략은 모든 테스트 케이스에서 안정적이고 진동이 없는, 물리적으로 실현 가능한 해를 일관되게 생성한다.
• 제안된 스킴은 확산 및 자유류출 근사 근처에서 정확한 점점 감쇠 행동을 유지함으로써 핵심 물리적 성질이 유지됨을 확인한다.
• 오픈소스 구현은 모든 수치적 결과의 완전한 재현 가능성을 보장하여 투명성과 향후 연구를 지원한다.