[논문 리뷰] A comparison between two de Rham complexes in diffeology

Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분학에서 두 개의 de Rham 복합체—원래의 Souriau de Rham 복합체와 단순 de Rham 복합체—를 Čech–de Rham 스펙트럴 시퀀스와 그 사이의 인자 사상(factor map)을 통해 비교한다. 이는 무리수 토러스 $T_{\theta}$의 첫 번째 단순 de Rham 코homology 군이 원래 de Rham 코homology와 접속 1-형식을 가진 유동(bundle)의 동치류 집합의 직합과 동형이며, 전체 단순 de Rham 코homology 대수 구조가 원래 코homology와 이러한 유동(bundle)에 의해 생성된 외부 대수의 텐서곱과 동형임을 보여준다.

ABSTRACT

There are two de Rham complexes in diffeology. The original one is due to Souriau and the other one is the singular de Rham complex defined by a simplicial differential graded algebra. We compare the first de Rham cohomology groups of the two complexes within the Čech--de Rham spectral sequence by making use of the {\it factor map} which connects the two de Rham complexes. As a consequence, it follows that the singular de Rham cohomology algebra of the irrational torus $T_θ$ is isomorphic to the tensor product of the original de Rham cohomology and the exterior algebra generated by a non-trivial flow bundle over $T_θ$.

연구 동기 및 목표

• 원래의 Souriau de Rham 복합체와 미분학에서의 단순 de Rham 복합체의 첫 번째 de Rham 코homology 군을 비교하는 것.
• 인자 사상과 Čech–de Rham 스펙트럴 시퀀스를 이용하여 이 두 복합체 간의 기하학적 및 코homological 차이를 이해하는 것.
• 무리수 토러스 $T_{\theta}$의 단순 de Rham 코homology 대수의 구조를 조사하고, 특히 그것이 유동(bundle)과의 관계에서 어떻게 작용하는지 밝혀내는 것.
• 유사한 호모토피 유형을 가졌음에도 불구하고 무리수 토러스 $T_{\theta}$의 단순 de Rham 코homology가 표준 토러스 $\mathbb{T}^2$와 다름을 밝혀내는 이유를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 논문은 두 de Rham 복합체의 코homology를 비교하기 위해 Čech–de Rham 스펙트럴 시퀀스를 사용한다.
• 원래 복합체와 단순 복합체를 연결하는 미분가환대수의 준동형사상인 인자 사상 $\alpha: \Omega(X) \to A(X)$를 활용한다.
• 특히 차수 2에서의 코homology에 유도된 사상과 스펙트럴 시퀀스의 가장자리 사상(edge map)을 통해 분석을 수행한다.
• 특정 조건인 $H^1(A(F)) = 0$ 하에서 가장자리 사상의 단사성을 바탕으로 증명이 이루어지며, 여기서 $F$는 번들의 섬유이다.
• 스펙트럴 시퀀스를 구성하기 위해 플롯의 생성 가족과 미분학적 공간의 네르브 위의 모노이드 작용을 사용한다.
• 전체 공간과 기저 공간의 스펙트럴 시퀀스를 연결하기 위해 다중집합의 플롯과 모노이드의 준동형사상 $\pi'$를 일반화하여 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분학에서 원래 복합체와 단순 복합체의 첫 번째 de Rham 코homology 군은 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 특히 다각형이나 단순연결되지 않은 공간에서 두 복합체의 코homology 간의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 왜 무리수 토러스 $T_{\theta}$의 단순 de Rham 코homology에는 표준 토러스 $\mathbb{T}^2$에는 존재하지 않는 비자명한 유동(bundle) 성분이 포함되어 있는가?
• RQ4 일반적으로 인자 사상 $\alpha$가 준동형사상(quasi-isomorphism)이 되지 않는 정도는 어느 정도이며, 이는 코homological 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Čech–de Rham 스펙트럴 시퀀스는 $T_{\theta}$의 코homology에 비자명한 유동(bundle)이 존재함을 어떻게 탐지하는가?

주요 결과

• 첫 번째 단순 de Rham 코homology 군 $H^1(A(T_{\theta}))$은 원래 de Rham 코homology $H^1(\Omega(T_{\theta})) \cong \mathbb{R}$와 $T_{\theta}$ 위의 접속 1-형식을 가진 유동(bundle)의 동치류 집합의 직합과 동형이다.
• 전체 단순 de Rham 코homology 대수 구조 $H^*(A(T_{\theta}))$는 원래 de Rham 코homology 대수와 비자명한 유동(bundle)에 의해 생성된 외부 대수의 텐서곱과 동형이다.
• 가장자리 사상 $H^2(A(X)) \to \check{H}^2(X)$는 $H^1(A(F)) = 0$ 조건 하에서 단사적이며, 이는 무리수 토러스의 실수 축을 가지는 섬유를 가진 번들의 경우 성립한다.
• 스펙트럴 시퀀스 분석을 통해, 기저 공간 $M$에서 $\Omega$-복합체의 $d_2$의 비자명성이 $H^1(\Omega(M))$가 비자명하지 않아야만 모순이 발생하지 않음을 확인할 수 있으며, 이는 $T_{\theta}$의 경우 성립하지 않아 새로운 코homology 군의 존재를 확인한다.
• 단순 de Rham 코homology는 대수적으로 $\mathbb{T}^2$와 동형이지만, $H^*(A(T_{\theta}))$에는 비자명한 유동(bundle) 성분이 존재하여 $H^*(A(\mathbb{T}^2))$와 구별된다. 이는 섬유의 수축 가능성으로 인해 $\mathbb{T}^2$에서는 이러한 유동이 자명하기 때문이다.
• 인자 사상 $\alpha$는 임의의 미분학적 공간 $X$에 대해 $H^1(\Omega(X)) \to H^1(A(X))$로의 단사 사상(단사 준동형)을 유도하며, 이 단사 사상은 $T_{\theta}$에서는 엄밀히 유지되므로, 단순 복합체가 원래 복합체에서 보이지 않는 추가적인 코homological 구조를 탐지함을 나타낸다.