[논문 리뷰] A comparison theorem for Finsler submanifolds and its applications

Wei Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 29.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 부분다양체의 쌍대법선다발을 이용하여 히엔체-카르커 체적 비교 정리의 편스러르 판본을 수립함으로써, 편스러르 다양체에서 폐포된 지오데식 길이와 임베딩 반경에 대한 하한을 도출한다. 주요 기여는 플래그 곡률, T-곡률, 체적 형태를 포함한 비교 추정치를 제시함으로써, 고전적인 리만 기하학 결과를 비리만형 편스러르 기하학으로 확장하는 것이다. 이는 전반적인 기하학과 곡률 한계에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the conormal bundle over a submanifold in a Finsler manifold and establish a volume comparison theorem. As an application, we derive a lower estimate for length of closed geodesics in a Finsler manifold. In the reversible case, a lower bound of injective radius is also obtained.

연구 동기 및 목표

• 편스러르 다양체에서 부분다양체의 쌍대법선다발을 분석함으로써, 리만 기하학의 히엔체-카르커 비교 정리를 편스러르 기하학으로 확장하는 것.
• 플래그 곡률과 T-곡률을 이용하여 편스러르 다양체에서의 체적 비교 추정치를 도출하는 것.
• 폐포된 편스러르 다양체에서 폐포된 지오데식 길이에 대한 하한을 확립하는 것.
• 동일한 비교 프레임워크를 사용하여, 대칭성 있는 편스러르 경우에서의 임베딩 반경 추정치를 확보하는 것.
• 쌍대법선다발의 기하학적 행동과 곡률 및 일정한 조건 하에서의 체적을 분석하는 것.

제안 방법

• 편스러르 다양체에서 정규다발 $\mathcal{V}N$ 의 레전드르 변환 상의 이미지로 쌍대법선다발 $\mathcal{V}^*N$ 을 정의한다.
• 편스러르 방향 $\xi \in \mathcal{V}^*N \setminus 0$ 에 따라 쌍대평균곡률 $H_\xi$ 를 도입하여 부분다양체 기하학을 수량화한다.
• 편스러르 기하학에서 채르의 접속의 비선형성을 측정하고 곡률 이탈을 통제하기 위해 T-곡률 $\mathbf{T}$ 를 사용한다.
• 해 $y'' + \delta y = 0$ 의 해인 $\mathfrak{s}_\delta(t)$ 와 쌍대평균곡률 $H_{\xi_0}$ 를 포함하는 체적 비교 부등식을 유도한다.
• 체적 왜곡을 유계화하고 쌍대법선다발의 체적을 통제하기 위해 균일상수 $\Lambda_F$ 를 적용한다.
• 편스러어르 기하학의 비리만형 설정으로 일반화하기 위해 홀름스-탐스톤 및 부세만-하우스도르프 체적 형태를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍대법선다발을 이용하여 히엔체-카르커 유형의 체적 비교 정리를 편스러르 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 T-곡률은 편스러르 기하학에서 체적 성장과 지오데식 길이 추정치에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 편스러르 다양체에서 곡률과 지름 제약 조건으로부터 폐포된 지오데식 길이에 대한 하한은 무엇인가?
• RQ4 대칭성 있는 편스러르 다양체에서의 임베딩 반경은 곡률과 체적과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 균일상수 $\Lambda_F$ 는 쌍대법선다발의 체적 왜곡을 통제하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 플래그 곡률 $\mathbf{K} \geq \delta$, 지름 $d$, 체적 $\mu(M)$ 을 갖는 폐포된 편스러르 $m$-다양체에 대해, 체적은 $\mathfrak{s}_\delta(t)$ 와 쌍대평균곡률 $H_{\xi_0}$ 를 포함하는 적분으로 위상적으로 유계화된다.
• 만약 $k=0$ 이면, 체적 유계는 $\mu(M) \leq \int_{S_xM} e^{-\tau(\dot{\gamma}_y(t))} d\nu_x(y) \int_0^d \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(t) dt$ 로 줄어들며, 이는 리만 사례를 일반화한다.
• 만약 $k \geq 1$ 이면, 체적은 $\mu(M) \leq c_{m-k-1} \cdot \Lambda_F^{(3m+k)/2} \cdot \bar{\mu}(N) \cdot \int_0^{\min\{d, \zeta(\xi_0)\}} \left(\mathfrak{s}'_\delta - \frac{H_{\xi_0}}{k}\mathfrak{s}_\delta\right)^k(t) \cdot \mathfrak{s}_\delta^{m-k-1}(t) dt$ 를 만족하며, 곡률과 평균곡률를 포함한다.
• 모든 폐포된 지오데식 $\gamma$ 에 대해 길이의 하한이 $L_g(\gamma) \geq \frac{(m-1)V}{c_{m-2} \mathfrak{s}_\delta^{m-1}(\min\{d, \pi/(2\sqrt{\delta})\})}$ 로 도출되며, 이는 리만 결과를 확장한다.
• 대칭성 있는 경우, 동일한 비교 프레임워크를 사용하여 임베딩 반경의 하한이 유도되며, 토폰고프의 정리를 피한다.
• 랜더스 계량 $F = \alpha + \beta$ 에 대해, 쌍대법선다발 체적은 $c_{m-k-1} \cdot (1 - b(x))^{-(m-k+1)/2}$ 로 유계화되며, 여기서 $b(x) = \|\beta\|_\alpha(x)$ 이다.