[논문 리뷰] A complete anytime algorithm for balanced number partitioning

Stephan Mertens|ArXiv.org|1999. 03. 11.

VLSI and FPGA Design Techniques참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 균형 잡힌 수 분할 문제를 위한 완전한 anytime 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 균형 잡힌 최대 차이 감소 방법(BLDM)과 Korf의 완전한 Karmarkar-Karp 알고리즘을 결합하여, 먼저 BLDM 해를 반환하고 점차적으로 이를 개선한다. 실질적으로 최대 12자리 유의 숫자를 가진 인스턴스를 최적해로 해결할 수 있으며, 높은 정밀도의 수치는 시간이 지남에 따라 계속해서 해를 정밀화함으로써 처리한다.

ABSTRACT

Given a set of numbers, the balanced partioning problem is to divide them into two subsets, so that the sum of the numbers in each subset are as nearly equal as possible, subject to the constraint that the cardinalities of the subsets be within one of each other. We combine the balanced largest differencing method (BLDM) and Korf's complete Karmarkar-Karp algorithm to get a new algorithm that optimally solves the balanced partitioning problem. For numbers with twelve significant digits or less, the algorithm can optimally solve balanced partioning problems of arbitrary size in practice. For numbers with greater precision, it first returns the BLDM solution, then continues to find better solutions as time allows.

연구 동기 및 목표

• 수의 합과 원소 개수가 거의 동일한 두 하위집합으로 나누어야 하는 균형 잡힌 수 분할 문제를 해결하기 위해.
• 최적해를 보장하는 완전성(completeness)과 시간이 지남에 따라 해를 향상시키는 anytime 성질을 모두 갖춘 알고리즘을 개발하기 위해.
• 초기에는 좋은 휴리스틱 해를 반환하고 점차 이를 정밀화함으로써 고정밀도 수치를 효과적으로 처리하기 위해.
• BLDM의 효율성과 Karmarkar-Karp 알고리즘의 최적성의 장점을 결합하여 우수한 성능을 달성하기 위해.

제안 방법

• 빠르게 타당한 해를 생성하기 위해 초기 휴리스틱으로 균형 잡힌 최대 차이 감소 방법(BLDM)을 통합한다.
• 해 공간을 체계적으로 탐색하고 최적성을 보장하기 위해 Korf의 완전한 Karmarkar-Karp 알고리즘을 사용한다.
• 부분 분할의 우선순위 큐를 유지하며, 하위집합 합의 차이가 가장 작은 것을 우선순위로 한다.
• 문제 크기를 줄이고 해 품질을 향상시키기 위해 Karmarkar-Karp 차이 감소 기법을 재귀적으로 적용한다.
• 특히 고정밀도 입력에 대해 초기 BLDM 출력 이후에도 계속해서 해를 정밀화한다.
• BLDM이 빠른 시작점을 제공하고 Karmarkar-Karp가 완전성과 최적성을 보장하는 하이브리드 전략을 채택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적성을 보장하면서도 시간이 지남에 따라 해를 향상시키는 완전한 anytime 알고리즘을 균형 잡힌 수 분할 문제에 적용할 수 있는가?
• RQ2 BLDM의 효율성과 Karmarkar-Karp 알고리즘의 완전성을 어떻게 조합하여 대규모 인스턴스를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 이러한 하이브리드 알고리즘의 성능 한계는 최대 12자리 유의 숫자를 가진 수에 대해 어느 정도인가?
• RQ4 최적해를 계산하기 어려운 고정밀도 입력에 대해 알고리즘은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 anytime 정밀화 과정에서 해 품질과 계산 시간 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 실제로 유의 숫자가 최대 12자리인 균형 잡힌 분할 문제를 최적해로 해결할 수 있다.
• 더 높은 정밀도의 입력에 대해서는 알고리즘이 초기에 BLDM 해를 반환하고 시간이 지남에 따라 계속해서 이를 향상시킨다.
• BLDM와 Karmarkar-Karp의 조합은 빠른 초깃행동과 궁극적 최적성 보장을 모두 보장한다.
• 알고리즘은 완전하므로 입력 크기나 정밀도에 관계없이 최종적으로 최적해를 찾을 수 있다.
• anytime 성질 덕분에 사용자는 언제든지 계산을 중단하고 지금까지 찾은 최고의 해를 얻을 수 있다.
• 이 방법은 해 품질과 계산 노력 사이의 균형을 효과적으로 유지하여, 다양한 시간 제약 조건을 가진 실생활 응용 분야에 적합하다.