[논문 리뷰] A complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property

Uffe Haagerup, Søren Knudby외 1명|University of Southern Denmark Research Portal (University of Southern Denmark)|2014. 12. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 카즈단의 성질 (T)을 강화한 새로운 차단 조건인 성질 (T∗)을 도입하여 연결 리군의 근사성 성질(AP)을 완전히 특성화한다. 저자들은 연결 리군이 AP를 가질 조건을 증명하며, 리 군의 리바르드 분해의 단순 성분들이 실수 계수가 1 이하일 때에만 AP를 가짐을 보이고, 중심이 유한한 실수 계수가 2 이상인 모든 연결 단순 리군이 성질 (T∗)을 가짐을 증명한다. 이는 비콤팩트인 경우 AP를 차단하는 핵심 장벽이 된다.

ABSTRACT

We give a complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property for groups (AP). To this end, we introduce a strengthening of property (T), that we call property (T*), which is a natural obstruction to the AP. In order to define property (T*), we first prove that for every locally compact group G, there exists a unique left invariant mean on the space of completely bounded Fourier multipliers of G. A locally compact group G is said to have property (T*) if this mean is a weak* continuous functional. After proving that the groups SL(3,R), Sp(2,R), and the universal covering of Sp(2,R) have property (T*), we address the question which connected Lie groups have the AP. A technical problem that arises when considering this question from the point of view of the AP is that the semisimple part of the global Levi decomposition of a connected Lie group need not be closed. Because of an important permanence property of property (T*), this problem vanishes. It follows that a connected Lie group has the AP if and only if all simple factors in the semisimple part of its Levi decomposition have real rank 0 or 1. Finally, we are able to establish property (T*) for all connected simple higher rank Lie groups with finite center.

연구 동기 및 목표

• 근사성 성질(AP)을 만족하는 연결 리군을 완전히 특성화하는 것.
• AP에 대한 자연스러운 장벽이 되는 새로운 군 성질 (T∗)을 도입하고 발전시키는 것.
• 반단순 부분이 닫혀 있지 않을 수 있는 연결 리군의 리바르드 분해에서 발생하는 기술적 과제를 해결하는 것.
• 실수 계수가 ≥2이고 중심이 유한한 모든 연결 단순 리군이 성질 (T∗)을 가짐을 증명하여 AP에 대한 핵심 장벽을 확립하는 것.
• 연결 리군이 AP를 가질 조건이 리바르드 분해에서의 모든 단순 성분의 실수 계수가 0 또는 1일 때에만 성립한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 모든 국소 콤팩트 군 $ G $ 에 대해 완전 유계 푸리에 승수의 공간 $ M_{0}A(G) $ 에서 양방향 불변 평균이 유일하게 존재함을 도입하고 증명한다.
• 이 불변 평균이 $ M_{0}A(G) $ 에서 약* 연속일 때 성질 (T∗)로 정의하며, 이는 성질 (T)보다 더 강력한 장벽이 된다.
• 표현 이론적 및 조화 분석 기법을 사용하여 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $, $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $, 및 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ 가 성질 (T∗)를 가짐을 증명한다.
• 성질 (T∗)의 유지 성질을 활용하여, 군 $ G $ 의 닫힌 부분군 $ H $ 가 (T∗)를 가질 경우, 특히 $ H $ 가 $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 또는 $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ 와 국소적으로 동형일 때 $ G $ 도 (T∗)를 가짐을 보인다.
• 베흐의 불변 평균 결과를 응용하여 콘볼루션 연산자와 약* 연속성을 통해 부분군에서 전체 군으로 (T∗)를 확장한다.
• AP가 군의 확장에 대해 보존되며, 타원군이 AP를 가짐을 이용하여 특성화 문제를 리바르드 분해의 반단순 부분으로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 연결 리군이 근사성 성질(AP)을 만족하는가?
• RQ2 비콤팩트 군에서 AP를 차단하기 위해 성질 (T)보다 더 강력한 장벽을 정의할 수 있는가?
• RQ3 리바르드 분해에서 반단순 부분이 닫혀 있지 않을 경우 발생하는 기술적 문제를 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ4 모든 실수 계수가 ≥2이고 중심이 유한한 연결 단순 리군이 성질 (T∗)를 가질까?
• RQ5 실수 계수 조건(≤1)이 연결 리군의 AP에 대해 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 연결 리군이 AP를 가질 조건은 그 리바르드 분해의 반단순 부분의 모든 단순 성분의 실수 계수가 1 이하일 때에만 성립한다.
• $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ 는 성질 (T∗)를 가짐으로써 AP가 차단된다.
• $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ 는 성질 (T∗)를 가짐으로써 AP가 차단된다.
• 유일 피복군 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ 는 성질 (T∗)를 가짐으로써 AP가 차단된다.
• 실수 계수가 ≥2이고 중심이 유한한 모든 연결 단순 리군은 성질 (T∗)를 가짐을 보이며, 이는 비콤팩트일 경우 AP를 가지지 못함을 의미한다.
• AP를 가지지 않는 연결 리군은 반드시 비콤팩트 닫힌 부분군을 가지며, 그 부분군은 성질 (T∗)를 가짐을 보여 구조적 장벽이 있음을 밝힌다.