[논문 리뷰] A Complete Surface Integral Method for Broadband Modeling of 3D Interconnects in Stratified Media

Shashwat Sharma, Utkarsh R. Patel외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 09.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 层상 다층 매질 내 3D 인터컨넥트의 광대역 전자기 모델링을 위한 완전한 표면 적분 방법을 제안한다. 다층 그린 함수 계산을 가속화하기 위해 새로운 테일러 전개 기반 기법을 도입하고, 임의의 도체에서 피부 효과를 위한 미분 표면 애드미ittance 연산자를 확장하며, 넓은 주파수 범위에서 효율적이고 그리드에 종속되지 않은 시뮬레이션을 위한 일반화된 적응형 적분 방법을 개발하였다. 유한요소 방법과의 검증을 통해 높은 정확도를 확보하였다.

ABSTRACT

A surface integral equation solver is proposed for fast and accurate simulation of interconnects embedded in stratified media. A novel technique for efficient computation of the multilayer Green's function is proposed. Using the Taylor expansion of Bessel functions, the computation of Sommerfeld integrals during the method of moments procedure is reduced to simple algebraic operations. To model skin effect in conductors, the single-source differential surface admittance operator is extended to conductors in stratified media. To handle large realistic structures, the adaptive integral method is developed for a multilayer environment in a generalized manner that poses no restrictions on layout of conductors, and requires no special grid refinement, unlike previous works. The proposed method is made robust over a wide frequency range with the augmented electric field integral equation. Realistic structures of different shapes and electrical sizes are successfully analyzed over a wide frequency range, and results are validated against a commercial finite element tool.

연구 동기 및 목표

• 다층 집적회로 내 3D 인터컨넥트의 빠르고 정확한 광대역 전자기 모델링을 가능하게 하기 위해.
• 소머펠드 적분을 통한 다층 그린 함수 계산의 높은 계산 비용을 극복하기 위해.
• 표면 기반 모델링을 확장하여 层상 매질 내 임의의 도체 기하구조에서 피부 효과를 처리할 수 있도록 하기 위해.
• 도체 레이아웃이나 그리드 정밀도에 제한이 없는 일반화된 적응형 적분 방법을 개발하기 위해.
• 전하 중성 강제 및 조건부 조건화를 통해 넓은 주파수 범위, 특히 저주파수 영역에서도 강건성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 베셀 함수의 테일러 전개를 사용하여 복잡한 소머펠드 적분을 단순한 대수적 연산으로 변환함으로써 다층 그린 함수 계산에 소요되는 시간을 크게 감소시켰다.
• 단일 소스 미분 표면 애드미ittance 연산자를 확장하여, 層상 매질 내에 임bedded된 도체에서 피부 효과 및 인접 효과를 모델링할 수 있도록 하였다.
• 일반화된 적응형 적분 방법(AIM)을 다층 환경에 적용하여 특수한 그리드 정밀도나 레이아웃 제약 없이 효율적인 행렬-벡터 곱 연산을 가능하게 하였다.
• 특히 전하 중성 문제 발생 시에도 강건성을 유지하기 위해 증강된 전기장 적분 방정식(aEFIE)을 사용하였다.
• 재시작된 GMRES를 사용한 큰 선형 시스템의 반복적 해법을 가속화하기 위해 슈어 여부를 기반으로 한 희박한 오른쪽 조건부 조건화 행렬을 적용하였다.
• 고립된 도체 집합에서 중복된 전하 밀도 자유도를 제거하기 위해 매핑 행렬 F와 B를 사용하여 전하 중성을 강제하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 수치 적분이나 보간에 의존하지 않고 다층 그린 함수 계산을 어떻게 가속화할 수 있는가?
• RQ2 미분 표면 애드미ittance 연산자를 확장하여 임의의 3D 도체 기하구조에서 피부 효과를 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ3 특수한 그리드 정밀도나 레이아웃 제약 없이 적응형 적분 방법을 다층 환경으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 전체 광대역 스펙트럼, 특히 저주파 영역에서 수치적 강건성을 확보하기 위한 기법은 무엇인가?
• RQ5 모멘트 방법에서 유도된 큰 희박 선형 시스템의 반복적 해법을 효과적으로 가속화하기 위해 조건부 조건화를 어떻게 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 테일러 전개 기법은 소머펠드 적분의 수치 적분을 빠른 대수적 연산으로 대체함으로써 다층 그린 함수 평가의 계산 비용을 크게 감소시켰다.
• 확장된 미분 표면 애드미ittance 연산자는 임의의 3D 도체 형상에서 層상 유전체 내 피부 효과 및 인접 효과를 정확하게 모델링할 수 있도록 하였다.
• 일반화된 적응형 적분 방법은 특수한 그리드 정밀도나 레이아웃 제약 없이도 큰 복잡한 인터컨넥트 구조에 대해 높은 효율성과 확장성을 확보하였다.
• 증강된 전기장 적분 방정식의 사용은 저주파수 영역에서 수치적 안정성과 정확도를 보장하였으며, 전하 중성으로 인한 랭크 결함 문제를 해결하였다.
• 조건부 조건화된 반복적 해법은 빠른 수렴을 달성하여 대규모 시뮬레이션을 고계산 효율성으로 수행할 수 있도록 하였다.
• 상용 유한요소 소프트웨어와의 검증을 통해 DC부터 수십 기가헤르츠까지 다양한 실제 인터컨넥트 기하구조에서 넓은 주파수 범위에서 높은 정확도를 입증하였다.