[논문 리뷰] A completely monotonic function involving the gamma and tri-gamma functions

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 20.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 함수 $ f_a(x) = \frac{1}{2}\ln(2\pi) - x + \left(x - \frac{1}{2}\right)\ln x - \ln\Gamma(x) + \frac{1}{12}\psi'(x+a) $가 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이 되기 위한 $ a \geq 0 $에 대한 필수 및 필요조건을 확립한다. 이는 $ f_0(x) $와 $ a \geq \frac{1}{2} $에 대해 $ -f_a(x) $가 완전 모노토닉임을 증명하며, 적분 표현과 모노토닉성 분석을 통해 감마함수 및 트리감마함수에 대한 새로운 부등식을 도출한다.

ABSTRACT

In the paper the author provides necessary and sufficient conditions on $a$ for the function $\frac{1}{2}\ln(2π)-x+\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\ln x-\lnΓ(x)+\frac1{12}{ψ'(x+a)}$ and its negative to be completely monotonic on $(0,\infty)$, where $a\ge0$ is a real number, $Γ(x)$ is the classical gamma function, and $ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$ is the di-gamma function. As applications, some known results and new inequalities are derived.

연구 동기 및 목표

• 감마함수와 삼감마함수를 포함하는 관련 함수의 완전 모노토닉성으로 $ F_a(x) $의 볼록성 결과를 일반화하기 위해.
• $ f_a(x) $ 또는 그 부정이 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이 되는 데 필요한 $ a \geq 0 $의 정확한 범위를 규명하기 위해.
• $ f_a(x) $의 완전 모노토닉성과 그 적분 표현을 이용하여 감마함수에 대한 새로운 부등식을 도출하기 위해.
• 기존 특수함수 이론에서의 모노토닉성 및 부등식 결과를 강화하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 매개수 $ a $를 포함한 로그함수, 감마함수, 삼감마함수의 조합으로서 $ f_a(x) $를 정의하기 위해.
• 모노토닉성 분석을 위해 $ f_a(x) - f_a(x+1) $ 및 그 도수를 사용하여 적분 표현을 활용하기 위해.
• Bernstein-Widder 정리를 적용하기 위해 도수 $ [f_a(x) - f_a(x+1)]' $를 적분 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $ 형태로 표현하기 위해.
• 급수 전개와 부등식을 이용하여 $ a = 0 $ 및 $ a = \frac{1}{2} $일 때 커널 $ \phi_a(t) $의 부호를 분석하기 위해.
• 무한대에서 $ f_a^{(k)}(x) $의 행동을 활용하여 도수에 대한 귀납법을 통해 완전 모노토닉성을 확립하기 위해.
• $ f_0(x) $와 $ a \geq \frac{1}{2} $에 대해 $ -f_a(x) $의 적분 표현을 도출하여 그 완전 모노토닉성을 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ f_a(x) $가 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이 되는 $ a \geq 0 $의 값은 무엇인가요?
• RQ2 $ -f_a(x) $가 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이 되기 위한 $ a $에 대한 필수 및 충분조건은 무엇인가요?
• RQ3 $ f_a(x) $의 완전 모노토닉성은 감마함수에 대한 새로운 부등식을 어떻게 이끌어내나요?
• RQ4 $ f_a(x) $의 완전 모노토닉성을 이용하여 감마함수 및 다이감마함수에 대한 기존 결과를 일반화하거나 강화할 수 있나요?
• RQ5 $ f_a(x) $의 완전 모노토닉성과 관련 감마함수 비율의 로그 완전 모노토닉성 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• $ f_0(x) $는 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이며, 그 도수 차이 $ f_0'(x+1) - f_0'(x) $ 역시 완전 모노토닉이다.
• $ a \geq \frac{1}{2} $일 때 $ -f_a(x) $는 $ (0,\infty) $에서 완전 모노토닉이며, $ f_a'(x) - f_a'(x+1) $ 역시 완전 모노토닉이다.
• 커널 $ \phi_0(t) $는 $ (0,\infty) $에서 음수이며, $ \phi_{1/2}(t) $는 양수이다. 이는 완전 모노토닉성에 필요한 부호 행동을 확인한다.
• $ f_a(x) $는 적분 표현 $ \int_0^\infty \phi_a(t) e^{-xt} dt $를 가지며, Bernstein-Widder 정리를 통해 그 완전 모노토닉성이 확인된다.
• 이중 부등식 $ \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\beta)}{12} - x\right) < \Gamma(x) < \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\exp\left(\frac{\psi'(x+\alpha)}{12} - x\right) $는 $ \alpha = 0 $ 및 $ \beta \geq \frac{1}{2} $일 때에만 성립한다.
• 비율 $ \frac{\Gamma(x+s)}{\Gamma(x+t)} \cdot \frac{(x+t)^{x+t-1/2}}{(x+s)^{x+s-1/2}} \exp\left[ s-t + \frac{\psi'(x+t+\alpha) - \psi'(x+s+\alpha)}{12} \right] $은 $ (-s,\infty) $에서 로그 완전 모노토닉이며, 이는 $ \alpha \geq \frac{1}{2} $일 때에만 성립한다.