[논문 리뷰] A Comprehensive subclass of analytic and bi-univalent functions associated with subordination

Ala Amourah, Mohamed Illafe|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 16.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 페블러 다항식 전개와 위상 이론을 사용하여 단위 원판 내에서 분석적이고 이단조인 함수의 새로운 부분류를 제안한다. 미분 연산자를 적용하고 위상 조건을 활용하여 계수의 경계를 고려함으로써, |a₂| 및 |a₃|에 대한 날카운 상계를 확립하며, 중간 계수들이 0이 되는 조건 하에서 |aₙ|에 대한 일반적 경계를 도출함으로써 기하함수론 분야의 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

In the present paper, we define a new general subclass of bi-univalent functions involving a differential operator in the open unit disk U. For this purpose, we use the Faber polynomial expansions. Several connections to some of the earlier known results are also pointed out.

연구 동기 및 목표

• 단위 원판 내에서 미분 연산자와 위상 이론을 사용하여 이단조인 함수의 새로운 일반 부분류를 정의한다.
• 페블러 다항식 전개를 적용하여 해석적 이단조인 함수의 계수 추정치를 도출한다.
• 위상 이론과 다항식 기법을 사용하여 Σ 계열에서의 계수 경계에 대한 이전 결과들을 일반화하고 확장한다.
• 특정 계수의 0 조건 하에서 |a₂|, |a₃|, |aₙ|에 대한 날카운 상계를 확립한다.

제안 방법

• 저자들은 μ, λ, δ, ξ = (2λ+μ)/(2λ+1)를 포함하는 미분 연산자를 사용하여 이단조인 함수의 새로운 부분류 BΣ(μ,λ,Φ,ξ)를 정의한다.
• 페블러 다항식 전개를 적용하여 f(z)와 그 역함수 f⁻¹(w)의 테일러 급수를 표현함으로써 계수 추출을 가능하게 한다.
• 위상 이론을 사용하여 미분 표현식을 실부가 양수인 함수 Φ(z)와 연결함으로써 Re(Φ(z)) > 0을 보장한다.
• f와 f⁻¹의 계수들은 a₂, a₃, ..., aₙ를 포함하는 동차 다항식 Kₙ₋₁⁻ⁿ을 통해 연결된다.
• 미분 표현식과 Φ(ϖ(z))의 페블러 급수 전개에서 계수를 비교함으로써 aₙ와 Φₙ 사이의 관계를 유도한다.
• 계수 비교와 삼각부등식을 사용하여 |a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))] 및 |a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)]의 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상 이론과 미분 연산자를 통해 정의된 이단조인 함수의 새로운 부분류에서 |a₂| 및 |a₃|에 대한 날카운 상계는 무엇인가?
• RQ2 페블러 다항식 전개가 이단조인 함수의 계수 추정치 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 2 ≤ m ≤ n−1 인 aₘ = 0 조건이 성립할 때 |aₙ|에 대한 일반적 경계는 무엇인가?
• RQ4 이 논문의 결과는 Tan(1984) 또는 Yousef 등이 제시한 이전의 계수 추정치를 어떻게 일반화하거나 확장하는가?

주요 결과

• |a₂|에 대한 날카운 상계는 |a₂| ≤ √[8 / ((μ+2λ+6ξδ)(μ+1))]로 주어지며, 계수 비교와 위상 제약 조건에서 유도된다.
• |a₃|에 대한 경계는 |a₃| ≤ [1 / (1 + 6δ/(2λ+1))] × [4 / (μ+λ+2ξδ)² + 2 / (μ+2λ+6ξδ)]로, 계수 방정식을 빼내고 삼각부등식을 적용함으로써 도출된다.
• n ≥ 4 이면, 2 ≤ m ≤ n−1 인 aₘ = 0 이면, |aₙ| ≤ 2 / [μ + (n−1)λ + n(n−1)ξδ]로 도출되며, 이는 Φ₁과 페블러 다항식을 포함하는 계수 관계의 절대값에서 유도된다.
• δ = 0 인 경우 결과는 기존의 정리들로 수렴함을 확인하여 이전 연구와의 일관성을 입증한다 (예: [4]의 정리 1 및 2).
• 페블러 다항식의 사용은 이단조인 함수의 고차항 계수 추정치를 체계적으로 도출하는 데 기여한다.