[논문 리뷰] A computability challenge: asymptotic bounds and isolated error-correcting codes

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 21.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 q-진 암호화 체계에서 오류 수정 코드의 渐近적 경계 αₚ(δ)가 구축 수학의 의미에서 계산 가능(computable)한지 조사한다. 계산 가능성 이론과 코드 점 집합의 재귀적 열거 가능성에 기반하여, αₚ(δ)가 공재귀적으로 열거 가능(co-recursively enumerable)이라면, 이 경계 이하의 코드 점 집합과 고립된 코드 점 집합이 모두 재귀적으로 열거 가능하다는 것을 보이며, 계산 가능성 평가를 위한 프레임워크를 제공한다. 다만 αₚ(δ)의 정확한 계산 가능성은 여전히 열려있다.

ABSTRACT

Consider the set of all error--correcting block codes over a fixed alphabet with $q$ letters. It determines a recursively enumerable set of points in the unit square with coordinates $(R,δ)$:= {\it (relative transmission rate, relative minimal distance).} Limit points of this set form a closed subset, defined by $R\le α_q(δ)$, where $α_q(δ)$ is a continuous decreasing function called {\it asymptotic bound.} Its existence was proved by the author in 1981, but all attempts to find an explicit formula for it so far failed. In this note I consider the question whether this function is computable in the sense of constructive mathematics, and discuss some arguments suggesting that the answer might be negative.

연구 동기 및 목표

• q-진 오류 수정 코드에 대한 渐近적 경계 αₚ(δ)가 구축 수학의 의미에서 계산 가능한지 판단하는 것.
• 渐近적 경계 이하에 위치한 코드 점 집합과 고립된 코드 점 집합의 계산 가능성 분석.
• 코드 점 (R, δ)의 극한점 집합인 코드 도메인 Uₚ가 재귀적인지 탐구하는 것. 이는 αₚ(δ)의 계산 가능성으로 이어질 수 있다.
• 유리수 정사각형(픽셀)으로 구성된 공재귀적으로 열거 가능한 집합을 통해 αₚ(δ)의 그래프를 제어 가능한 오차 범위 내에서 근사화할 수 있는지 평가하는 것. 기하적 근사와 계산 가능성 간의 연결 고리 수립.

제안 방법

• 특히 공재귀적으로 열거 가능한 집합을 활용하여 αₚ(δ)의 계산 가능성 정의를 위한 구축 수학의 계산 가능성 프레임워크를 사용한다.
• αₚ(δ)의 그래프를 O(1/N) 오차 내에서 근사하는 N-스트립(N-strips) 개념을 적용하며, 이는 크기 1/N인 유리수 닫힌 구를 사용한다.
• 유리수 닫힌 구를 동시에 생성하여, αₚ(δ)의 그래프와 교차하거나 교차하지 않는 방식으로 평행 알고리즘을 활용하여 양방향 근사화를 가능하게 한다.
• Uₚ와 교차하지만 내부는 교차하지 않는 예외적 N-구를 예외적 N-구(Exceptional N-balls)로 정의하고, 그 경계 점을 사용해 Γₚ(δ)를 제어 가능한 오차로 특정한다.
• Uₚ가 재귀적이라면 예외적 N-구 집합이 유한하고 알고리즘적으로 식별 가능하므로, Γₚ의 양방향 근사화를 구성할 수 있음을 활용한다.
• Brat의 결과를 적용하여, Γₚ의 공재귀적 열거 가능성은 재귀적 열거 가능성, 즉 재귀성을 암시함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적인 공식이 알려져 있지 않은 상황에서, αₚ(δ)가 구축 수학의 의미에서 계산 가능한가?
• RQ2 αₚ(δ)가 공재귀적으로 열거 가능하다면, αₚ(δ) 이하에 위치한 코드 점 집합은 재귀적으로 열거 가능한가?
• RQ3 동일한 가정 하에 고립된 코드 점 집합은 재귀적으로 열거 가능한가?
• RQ4 코드 도메인 Uₚ의 재귀적 열거 가능성은 αₚ(δ)의 계산 가능성으로 이어지는가?
• RQ5 유리수 픽셀 기반 집합을 사용해 제어 가능한 오차 범위 내에서 αₚ(δ)의 그래프를 효과적으로 근사화할 수 있는가?

주요 결과

• αₚ(δ)가 공재귀적으로 열거 가능하다면, 渐近적 경계 이하에 위치한 코드 점 집합은 재귀적으로 열거 가능하다.
• αₚ(δ)가 공재귀적으로 열거 가능하다면, 고립된 코드 점 집합 역시 재귀적으로 열거 가능하다.
• 주어진 계산 가능성 모델 하에, αₚ(δ)의 그래프가 계산 가능할 조건은 공재귀적으로 열거 가능할 때에 한하여 성립한다.
• 코드 도메인 Uₚ가 재귀적이라면, 예외적 N-구를 통해 Uₚ의 경계를 알고리즘적으로 근사화할 수 있으므로 αₚ(δ)는 계산 가능하다.
• 유리수 닫힌 구에서 N-스트립을 구성함으로써 Γₚ(δ)에 대해 오차가 O(1/N) 이내로 제어 가능한 양방향 근사화가 가능하다.
• 결과적으로 αₚ(δ)의 계산 가능성은 그 그래프의 재귀적 열거 가능성과 동치이며, 이는 경계 이하 및 이상의 코드 점 집합의 재귀적 열거 가능성과도 동치이다.