[논문 리뷰] A computational framework for infinite-dimensional Bayesian inverse problems. Part I: The linearized case, with application to global seismic inversion

Tan Bui–Thanh, Omar Ghattas외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 06.

Gaussian Processes and Bayesian Inference참고 문헌 28인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 함수 공간 인식 기반 이산화와 사후 공분산의 저랭크 근사화를 사용하여 무한차원 베이지안 역문제를 해결하는 확장 가능한 계산 프레임워크를 제시한다. 이는 최대 430,000개의 매개변수를 가진 고차원 지진 역문제에서의 불확실성 정량화를 가능하게 하며, 효율적인 샘플링과 행렬 기반 연산을 통해 2–3개 정도의 차수 감소를 달성한다.

ABSTRACT

We present a computational framework for estimating the uncertainty in the numerical solution of linearized infinite-dimensional statistical inverse problems. We adopt the Bayesian inference formulation: given observational data and their uncertainty, the governing forward problem and its uncertainty, and a prior probability distribution describing uncertainty in the parameter field, find the posterior probability distribution over the parameter field. The prior must be chosen appropriately in order to guarantee well-posedness of the infinite-dimensional inverse problem and facilitate computation of the posterior. Furthermore, straightforward discretizations may not lead to convergent approximations of the infinite-dimensional problem. And finally, solution of the discretized inverse problem via explicit construction of the covariance matrix is prohibitive due to the need to solve the forward problem as many times as there are parameters. Our computational framework builds on the infinite-dimensional formulation proposed by Stuart (A. M. Stuart, Inverse problems: A Bayesian perspective, Acta Numerica, 19 (2010), pp. 451-559), and incorporates a number of components aimed at ensuring a convergent discretization of the underlying infinite-dimensional inverse problem. The framework additionally incorporates algorithms for manipulating the prior, constructing a low rank approximation of the data-informed component of the posterior covariance operator, and exploring the posterior that together ensure scalability of the entire framework to very high parameter dimensions. We demonstrate this computational framework on the Bayesian solution of an inverse problem in 3D global seismic wave propagation with hundreds of thousands of parameters.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 매개변수 필드를 가진 대규모 역문제에서의 불확실성 정량화 문제에 대처한다.
• 타원형 PDE 기반 가우시안 랜덤 필드 사전을 사용하여 이산화된 역문제의 잘 정의됨과 수렴성을 보장한다.
• 고차원 사후 공분산 행렬의 명시적 구성 방지를 방지하기 위해 확장 가능한 알고리즘을 개발한다.
• 수십만 개의 매개변수를 가진 3차원 글로벌 지진파 전파에서 실용적인 불확실성 정량화를 가능하게 한다.
• 효율적인 사후 샘플링과 사후 공분산 연산자의 저랭크 근사화를 지원하는 계산 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 타원형 PDE 연산자의 역행렬로 정의된 공분산을 가진 가우시안 사전을 사용하여 무한차원 함수 공간에서 역문제를 수립한다.
• 무한차원 해에 수렴하도록 보장하기 위해 함수 공간 인식 기반의 유한요소 이산화를 구현한다.
• 무작위 SVD와 샘플링 방법을 사용하여 사후 공분산의 데이터 기반 성분에 대한 저랭크 근사를 구성한다.
• 행렬 기반 연산을 피하기 위해 전방 및 수반 PDE 해법에 의존하는 행렬 기반 접근 방식을 사용한다.
• 사후 정밀도의 스펙트럼 분해를 통한 사후 공분산의 제곱근 분해를 유도하여 효율적인 샘플링을 가능하게 한다.
• 무작위 알고리즘을 사용하여 사후 샘플을 $\boldsymbol{\nu}^{\text{post}} = \boldsymbol{m}_{\text{MAP}} + \boldsymbol{L}\boldsymbol{n}$ 으로 계산하며, 여기서 $\boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^\top = \boldsymbol{\Gamma}_{\text{post}}$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 베이지안 역문제를 어떻게 이산화하여 진정한 해로의 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ2 고차원 매개변수를 가진 무한차원 역문제에서 잘 정의됨과 부드러움을 보장하는 사전 분포는 무엇인가?
• RQ3 큰 행렬을 명시적으로 구성하거나 저장하지 않고도 사후 공분산 연산자를 효율적으로 근사화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 어떤 계산 프레임워크가 수십만 개의 매개변수를 가진 3차원 글로벌 지진파 전파에서의 확장 가능한 불확실성 정량화를 가능하게 하는가?
• RQ5 저랭크 근사화와 행렬 기반 접근 방식이 사후 샘플링의 계산 비용을 수십만 배 이상 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 사후 공분산의 저랭크 근사를 통해 효과적인 매개변수 차원을 2–3개 정도 감소시킨다.
• 함수 공간 인식 기반 이산화 방법은 유한차원 근사가 진정한 무한차원 역문제로 수렴함을 보장한다.
• 타원형 PDE의 역행렬 기반 가우시안 사전의 사용은 매개변수 샘플이 거의 확실히 연속적이며, 잘 정의된 역문제를 이끈다.
• 행렬 기반 샘플링 방법은 전체 사후 공분산 행렬의 명시적 구성 방지를 통해 최대 430,000개의 매개변수를 가진 문제로의 확장 가능성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 이전에는 차원의 문제로 해결이 불가능했던 3차원 글로벌 지진파 전파 역문제에서 베이지안 불확실성 정량화를 성공적으로 가능하게 했다.
• 이론적 및 수치적 결과는 사후 공분산의 저랭크 근사가 정확하고 계산적으로 효율적임을 확인한다.