[논문 리뷰] A computer search for planar substitution tilings with n-fold rotational symmetry

Franz Gähler, Eugene E. Kwan외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 18.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 n겹의 회전 대칭을 갖는 평면 치우개 타일링에 대한 컴퓨터 보조 검색을 제시하며, 각이 π/n의 정수 배인 삼각형 원형 타일에 초점을 맞춘다. 체계적인 알고리즘을 통해 저자들은 새로운 치우개 규칙을 발견하였는데, 특히 7겹 대칭에 대해 비정수 확대 인자와 함께 전역적인 n겹 대칭을 갖는 경우를 포함한다. 일부는 둘레 2차 코homology에 대해 예상치 못한 비일반적 작용을 보인다.

ABSTRACT

We describe a computer algorithm that searches for substitution rules on a set of triangles, the angles of which are all integer multiples of π/n. We find new substitution rules admitting 7-fold rotational symmetry at many different inflation factors.

연구 동기 및 목표

• 각이 π/n의 정수 배인 삼각형의 최소 집합에서 새로운 치우개 규칙을 식별하여 전역적인 n겹 회전 대칭을 갖는 타일링을 생성하는 것.
• 특히 [19]의 일반적 구성에서 유도되지 않는 치우개 규칙을 탐색하며, 모든 이러한 삼각형을 사용하지 않고 특정 원형 타일 집합에 집중하는 것.
• 동일한 원형 타일 집합에 대해 다수의 호환 가능한 치우개 규칙을 찾고, 이를 변-변 접합 다중치우개 또는 무작위 치우개 타일링으로 조합하는 것.
• 이러한 새로운 치우개의 역학적 및 위상적 성질, 특히 코homological 행동과 확대 인자 구조를 조사하는 것.
• 비정수 확대 인자를 갖는 두 차원 변-변 접합 치우개의 부족을 보완하기 위해 이러한 성질을 갖는 새로운 예를 발견하는 것.

제안 방법

• 각이 π/n의 정수 배인 삼각형 집합에서 치우개 규칙를 체계적으로 검색하기 위한 컴퓨터 알고리즘을 설계한다. 원형 타일의 유한 집합을 사용한다.
• 모서리 매칭 호환성, 특히 모서리 분할과 모서리 방향을 포함한 제약 기반 검색을 구현하여 치우개 규칙가 변-변 타일링을 생성하도록 보장한다.
• 확대 인자 λ = 2 + 2cos(π/n)를 핵심 매개변수로 사용하며, n = 7, 8, 9 및 그 이상에 대해 특정 값들을 테스트하여 다양한 확대 행동을 탐색한다.
• 재귀적 분해 방법을 적용하여 주어진 원형 타일이 회전 대칭을 유지하는 방식으로 자신과 다른 원형 타일의 더 작은 사본으로 분할 가능한지 테스트한다.
• Anderson-Putnam 복합체를 사용하여 타일링 공간의 코homological 성질을 분석하며, 특히 제1 및 제2 코homology 군에 대한 작용에 집중한다.
• 결과를 호환성 기준으로 걸러내며, 모든 원형 타일에서 모서리 분할 및 방향이 일치하는 경우에만 포함하여 다중치우개 또는 무작위 치우개 시스템으로 조합 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적 방법 [19]에서 유도되지 않는 새로운 치우개 규칙를 발견할 수 있는가? 이는 전역적인 n겹 회전 대칭을 갖는 평면 타일링을 생성할 수 있는가?
• RQ2 비정수 확대 인자를 갖는 치우개 규칙의 성질은 무엇이며, 여전히 변-변 타일링과 n겹 대칭을 갖는가?
• RQ3 이러한 새로운 치우개 중에서 제2 코homology 군에 비일반적 작용을 보이는 것은 무엇이며, 이는 그들의 역학적 스펙트럼에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 동일한 원형 타일 집합에 대해 얼마나 많은 호환 가능한 치우개 규칙이 존재하는가? 이들은 다중치우개 또는 무작위 치우개 시스템으로 조합될 수 있는가?
• RQ5 모든 성공적인 치우개에서 일관되게 나타나는 구조적 또는 기하적 제약(예: 모서리 방향 규칙)은 무엇이며, 이는 회전 대칭과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 알고리즘이 7겹 대칭에 대해 비정수 확대 인자를 갖는 새로운 치우개 규칙를 성공적으로 발견하였으며, 이는 [8] 또는 [15]의 가족에 속하지 않는 경우도 포함된다.
• λ₁ = 2 + 2cos(π/7)에 대해 12개의 서로 다른 치우개 규칙가 발견되었으며, 그 중 하나는 제2 코homology 군에 비일반적 작용을 보였다.
• λ₂ = 2 + 2cos(π/8)에 대해 18개의 호환 가능한 치우개 규칙가 발견되었으며, 각 9개의 모서리 분할/방향 조합이 다수의 결과를 지원했다.
• λ₃ = 2 + 2cos(π/9)에 대해 T(2,2,3)에 대해 36개의 호환 가능한 결과, T(1,3,3)에 대해 5개, T(1,2,4)에 대해 3개를 발견하였으며, 모두 무작위 치우개로 조합 가능했다.
• 그림 8(b) 및 그림 8(a)의 왼쪽 T(2,2,3) 결과에서 유도된 몇몇 치우개는 제2 코homology에 비일반적 작용을 보였는데, 이는 드물고 위상적으로 중요한 성질이다.
• 결과는 모서리 방향 규칙이 일관되게 유지됨을 보여주며, π/n의 짝수 배에서 만날 모서리는 모두 같은 방향(둘 다 들어오거나 둘 다 나가기)을 가지며, 홀수 배에서는 반대 방향을 가지며, 이는 n겹 대칭은 유지하지만 2n겹 대칭은 유지하지 않는다.