[논문 리뷰] A condition for scattered linearized polynomials involving Dickson matrices

Corrado Zanella|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 24인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 선형 다항식이 산산이 흩어지는지 여부를 판단하기 위한 새로운 조건을 도입한다. 이 조건은 딕슨 행렬을 기반으로 하며, 사영 기하학과 부호 이론에서 중요한 성질인 산산이 흩어지는 성질을 규명한다. 저자들은 이 기준을 두 개의 이항식에 적용한다. 첫째, $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$ 형태의 룬론도르-폴레르이고 이항식은 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$일 경우 절대 산산이 흩어지지 않음을 증명한다. 둘째, 평면 대수곡선을 통해 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$가 산산이 흩어지는지 여부에 대한 필요충분조건을 확립한다. 본 결과는 이러한 다항식의 희귀성을 해결하며, $n \geq 5$일 경우 $x^q + b x^{q^2}$는 절대 산산이 흩어지지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

A linearized polynomial over $\mathbb F_{q^n}$ is called scattered when for any $t,x\in\mathbb F_{q^n}$, the condition $xf(t)-tf(x)=0$ holds if and only if $x$ and $t$ are $\mathbb F_q$-linearly dependent. General conditions for linearized polynomials over $\mathbb F_{q^n}$ to be scattered can be deduced from the recent results in [4,7,15,19]. Some of them are based on the Dickson matrix associated with a linearized polynomial. Here a new condition involving Dickson matrices is stated. This condition is then applied to the Lunardon-Polverino binomial $x^{q^s}+\delta x^{q^{n-s}}$, allowing to prove that for any $n$ and $s$, if $\mathbb N_{q^n/q}(\delta)=1$, then the binomial is not scattered. Also, a necessary and sufficient condition for $x^{q^s}+bx^{q^{2s}}$ to be scattered is shown which is stated in terms of a special plane algebraic curve.

연구 동기 및 목표

• $\mathbb{F}_{q^n}$ 위의 선형 다항식이 산산이 흩어지는지 여부를 판단하기 위한 새로운 대수적 조건을 딕슨 행렬 기반으로 개발한다.
• Lunardon-Polverino 이항식 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$가 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$일 때 산산이 흩어질 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 이항식 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$가 산산이 흩어지는 데 필요한 필수조건과 충분조건을 평면 대수곡선의 언어로 표현한다.
• $x^q + b x^{q^2}$가 $n \geq 5$일 때 산산이 흩어지지 않음을 보여주어 이러한 다항식의 희귀성을 확인한다.

제안 방법

• 선형 다항식 $f(x) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^{\sigma^i}$에 대해 $\sigma = q^s$, $\gcd(s,n) = 1$, $\sigma$는 $q$의 거듭제곱인 조건에서 일반화된 $\sigma$-행렬을 도입한다.
• 다항식 $g(t) = -f(x)t + f(xt)$를 정의하고, 이에 대응하는 $\sigma$-행렬 $M_{\sigma,g}$를 설정하며, 이는 $xf(t) - t f(x)$의 핵의 구조를 반영한다.
• $f(x)$가 산산이 흩어지기 위한 필요충분조건으로, 모든 $x \in \mathbb{F}_{q^n}^*$에 대해 $M_{\sigma,g}$의 $(n-1) \times (n-1)$ 주 minor 가 역행렬을 가져야 한다는 것을 증명한다.
• 라플라스 전개와 추적, 노름의 성질을 이용해 산산이 흩어지는 조건을 $\sum_{i=0}^{n-1} z^{(\sigma^i - 1)/(\sigma - 1)} = 0$ 형태의 단일 방정식으로 줄인다. 여기서 $z = \delta x^{q^n - 2q^s}$이다.
• Lunardon-Polverino 이항식에 이 조건을 적용하기 위해 $z = \delta x^{q^n - 2q^s}$를 대입하고, 노름 조건 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$을 분석하여 이 방정식의 해가 존재함을 보인다.
• $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$의 경우, 다항식이 산산이 흩어지기 위한 조건을 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ 곡선 위에 존재하는 점 $(x_0, y_0) \in \mathbb{F}_{q^n}^{*2}$ 가 존재하고 $\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ 를 만족하는지 여부로 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$일 때, Lunardon-Polverino 이항식 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$는 산산이 흩어지는가?
• RQ2 $\gcd(s,n) = 1$ 조건 하에, 이항식 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$가 산산이 흩어지기 위한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ3 $n \geq 5$일 때, 다항식 $x^q + b x^{q^2}$는 산산이 흩어질 수 있는가?
• RQ4 딕슨 행렬의 구조는 선형 다항식의 산산이 흩어지는 성질과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Lunardon-Polverino 이항식 $x^{q^s} + \delta x^{q^n - q^s}$는 $N_{q^n/q}(\delta) = 1$일 경우 산산이 흩어지지 않으며, 이는 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 특히 $n = 5$일 경우, 모든 $b \in \mathbb{F}_{q^5}^*$에 대해 다항식 $x^q + b x^{q^2}$는 비산산이 흩어지며, 이 경우에 이러한 다항식이 존재하지 않음을 확인한다.
• 이항식 $x^{q^s} + b x^{q^{2s}}$는 산산이 흩어지기 위한 필요충분조건이 평면 대수곡선 $b^{-1}X^{q-1} + Y^{q^s - 1} + 1 = 0$ 이 $x_0, y_0 \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ 이며 $\operatorname{Tr}_{q^n/q}(y_0) = 0$ 를 만족하는 점을 포함하지 않을 때 성립한다. 이는 기하학적 특성화를 제공한다.
• $N_{q^n/q}(\delta) = 1$은 Lunardon-Polverino 이항식이 산산이 흩어지지 않기 위한 필수조건이며, 이는 이전의 $n=4$, $s=1$, 홀수 $n$의 결과를 일반화한다.
• $(n-1)$-차수 주 minor를 기반으로 한 새로운 조건은 산산이 흩어지지 않음을 확인하기 위한 단일 방정식 테스트를 제공하며, 두 행렬식 방정식을 검토하는 것보다 더 효율적인 대안을 제공한다.
• $n \geq 5$일 경우, $b \neq 0$ 인 다항식 $x^q + b x^{q^2}$는 산산이 흩어지지 않으며, 이는 곡선 조건과 최근의 추적 방정식 해 존재성에 관한 결과를 조합하여 도출된다.