[논문 리뷰] A conditional limit theorem for random walks under extreme deviation

Michel Broniatowski, Zhansheng Cao|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 29.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경량 꼬리 조건과 정규성 조건 하에서, i.i.d. 랜덤 워크가 극단적 이탈을 보일 때의 조건부 극한 정리(conditional limit theorem)를 수립한다. 합 $ S_n/n = a_n $ 이며 $ a_n \to \infty $ 일 때, $ X_1 $ 의 조건부 분포가 변동 노름(variation norm)에서 $ a_n $ 에 대응하는 기울인 분포(tilted distribution)로 수렴함을 보이며, 이는 고전적 게이브스 조건부 원리(Gibbs conditioning principle)를 극단적 이탈 영역으로 확장한 결과로, 두 번째 차수의 전개를 통해 조건부 밀도의 국소 근사화를 제공한다.

ABSTRACT

This paper explores a conditional Gibbs theorem for a random walkinduced by i.i.d. (X_{1},..,X_{n}) conditioned on an extreme deviation of its sum (S_{1}^{n}=na_{n}) or (S_{1}^{n}>na_{n}) where a_{n} ightarrow\infty. It is proved that when the summands have light tails with some additional regulatity property, then the asymptotic conditional distribution of X_{1} can be approximated in variation norm by the tilted distribution at point a_{n}, extending therefore the classical LDP case.

연구 동기 및 목표

• 합 $ S_n/n = a_n $ 이며 $ a_n \to \infty $ 일 때, $ X_1 $ 의 조건부 분포의 渐近적 행동을 조사하는 것.
• 고정된 $ a > \mathbb{E}[X_1] $ 에서 유효한 고전적 게이브스 조건부 원리를 증가하는 $ a_n $ 의 경우로 확장하는 것.
• 경량 꼬리 조건과 정규성 조건 하에서, 조건부 분포와 $ a_n $ 에 대응하는 기울인 분포 사이의 변동 노름 수렴을 확립하는 것.
• 두 번째 차수의 에지워스 유형 전개를 사용하여 조건부 밀도의 국소 근사화를 제공하는 것.

제안 방법

• 극한의 조건부 원리(local conditioning principle)를 사용하여, $ a_n \to \infty $ 이며 $ S_n/n = a_n $ 인 사건에 대해 i.i.d. 수열 $ (X_1, \dots, X_n) $ 을 조건화하는 것.
• 모멘트 생성 함수 $ \Phi(t) $ 에 대해 $ m(t) = \frac{d}{dt} \log \Phi(t) $ 를 만족시키는 매개수 $ t $ 를 가진 기울인 분포 $ \pi^a $ 를 사용하는 것.
• 정규적으로 변화하는 함수와 라플라스 방법(Laplace's method)을 활용하여 가능도의 최대값 근처의 조건부 밀도를 근사하는 점근적 분석 기법을 적용하는 것.
• 세 번째 중심모멘트 $ \mu_3(t) $ 와 분산 $ s^2(t) $ 를 사용하여 조건부 밀도의 두 번째 차수 전개를 유도하며, 한계에서 고차항이 소멸됨을 보이는 것.
• 진정한 조건부 밀도와 기울인 밀도 사이의 $ L^1 $-거리에 대한 유계를 통해 변동 노름 수렴을 확립하는 것.
• 밀도 꼬리 $ p(x) \sim x^{-\beta}L(x) $ 이며 $ \beta > 1 $ 일 때, 정규적 변화 이론을 사용하여 $ t \to \infty $ 일 때 $ \mu_3(t) $ 와 $ s^2(t) $ 의 행동을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합 $ S_n/n = a_n $ 이며 $ a_n \to \infty $ 일 때, $ X_1 $ 의 조건부 분포가 $ a_n $ 에 대응하는 기울인 분포로 수렴하는가?
• RQ2 고전적 대규모 이탈 원리와 비교해, 극단적 이탈 조건에서 변동 노름 수렴의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 두 번째 차수의 에지워스 유형 보정은 극단적 이탈 영역에서 조건부 밀도 근사화를 향상시키는가?
• RQ4 기본 분포의 정규성 및 꼬리 행동(예: 정규적으로 변화하는 꼬리)은 조건부 분포 수렴에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 세 번째 중심모멘트 $ \mu_3(t) $ 가 분산에 비해 무시할 수 있을 정도로 작아지는 조건은 무엇인가, 이는 기울인 근사의 타당성을 보장한다.

주요 결과

• 경량 꼬리 조건과 정규성 조건 하에서, $ n \to \infty $ 일 때, $ X_1 $ 의 조건부 분포가 총 변동 노름에서 기울인 분포 $ \pi^{a_n} $ 로 수렴한다.
• $ h \in R_\beta $ 이며 $ \beta > 1 $ 이면, 세 번째 중심모멘트 $ \mu_3(t) \sim \frac{M_6 - 3}{2} \psi''(t) $ 이고, $ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $ 이므로 고차항이 소멸됨을 의미한다.
• $ h \in R_\infty $ 이면 조건 $ \psi(t)\epsilon(t)/t \to 0 $ 하에서 비율 $ \mu_3(t)/s^3(t) \to 0 $ 이며, 이는 가우시안 근사의 타당성을 보장한다.
• 분산 $ s^2(t) \sim \psi'(t) $ 이며, 중심모멘트 생성 함수의 두 번째 도함수는 $ h''(\hat{x}) \sim \beta(\beta-1)\psi(t)^{\beta-2}l_0(\psi(t)) $ 를 만족하며, 이는 가능도의 곡률를 제어한다.
• 조건부 밀도와 기울인 밀도 사이의 $ L^1 $-거리가 0으로 수렴하여, 변동 노름 수렴이 확인된다.
• 결과는 게이브스 원리를 고정된 이탈에서 발산하는 $ a_n $ 으로 일반화하며, 모든 합성항 $ X_i $ 가 극단적 이탈 조건에서 $ a_n $ 근처에 집중됨을 보이며, 조건부 분포는 $ \pi^{a_n} $ 로 근사됨을 시사한다.