[논문 리뷰] A conforming discontinuous Galerkin finite element method

Xiu Ye, Shangyou Zhang|ArXiv.org|2019. 04. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 15인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 조인성 유한요소 형식의 단순성과 비연속 근사의 유연성을 결합한 새로운 조인성 불연속 갈레르킨(conforming DG) 유한요소 방법을 제안한다. 대칭적이고 양의 정부호인 변분형식에서 고전적 기울기를 약한 기울기로 대체함으로써, 다항식 차수 $k \geq 1$에 대해 이산 $H^1$ 노름에서 $O(h^k)$, $L^2$ 노름에서 $O(h^{k+1})$의 최적 수렴 속도를 달성한다. 수치 결과는 $k=1$에서 $5$까지 이론을 확인한다. 이 방법은 구현을 단순화하면서도 경계 조건을 강하게 강제하고 최적의 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

A new finite element method with discontinuous approximation is introduced for solving second order elliptic problem. Since this method combines the features of both conforming finite element method and discontinuous Galerkin (DG) method, we call it conforming DG method. While using DG finite element space, this conforming DG method maintains the features of the conforming finite element method such as simple formulation and strong enforcement of boundary condition. Therefore, this finite element method has the flexibility of using discontinuous approximation and simplicity in formulation of the conforming finite element method. Error estimates of optimal order are established for the corresponding discontinuous finite element approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

연구 동기 및 목표

• 조인성 유한요소 형식의 단순성을 유지하면서도 비연속 근사를 允許하는 유한요소 방법을 개발한다.
• 복잡한 수치적 플럭스와 페널티 항을 피하여 불연속 갈레르킨 방법의 제형을 단순화한다.
• 대칭적이고 양의 정부호인 시스템을 사용하여 이산 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 수렴 속도를 달성한다.
• 약한 갈레르킨 프레임워크를 통해 디리클레 경계 조건을 강하게 강제할 수 있도록 하여 간편한 구현을 가능하게 한다.
• 다항식 차수 $k=1$에서 $5$까지 이론적 수렴 속도가 수치적으로 확인된다.

제안 방법

• 이 방법은 다각형 영역 $\Omega$ 위에서 다항식 차수 $k \geq 1$의 조각별 다항식을 사용하는 불연속 갈레르킨 유한요소 공간 $V_h$를 사용한다.
• 고전적 기울기 $\nabla u_h$를 각 요소에서 국소 $L^2$-투영을 통해 정의된 약한 기울기 $\nabla_w u_h$로 대체한다.
• 변분형식은 모든 $v_h \in V_h^0$에 대해 $ (\nabla_w u_h, \nabla_w v_h) = (f, v_h) $ 이며, $\partial\Omega$ 에서 $u_h = I_h g$ 이다.
• 약한 기울기는 국소적으로 계산되어 계산 효율성을 확보하고 대칭적이며 양의 정부호인 시스템 행렬을 가능하게 한다.
• 디리클레 데이터 $g$ 의 보간 $I_h g$ 를 사용하여 경계 조건을 강하게 강제한다.
• 이 방법은 조인성 유한요소의 단순성을 계승하면서도 비연속 근사를 통해 DG 방법의 유연성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 갈레르킨 방법을 조인성 유한요소 방법의 단순성과 함께 제작할 수 있는가, 동시에 최적 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ2 약한 기울기의 사용이 DG 형식에서 페널티 항과 수치적 플럭스의 필요성을 제거할 수 있는가?
• RQ3 최적 수렴 속도를 달성하면서도 시스템이 여전히 대칭적이고 양의 정부호인가?
• RQ4 추가 자유도나 안정화를 도입하지 않고도 경계 조건을 강하게 강제할 수 있는가?
• RQ5 수치 실험은 다항식 차수 $k=1$에서 $5$까지 이론적 수렴 차수를 확인하는가?

주요 결과

• 정리 6에 의해 $k \geq 1$에 대해 이산 $H^1$ 노름에서 $O(h^k)$의 최적 수렴이 입증된다.
• 이중 문제의 $H^2$-정규성 조건 하에 정리 7에 의해 $L^2$ 오차 수렴 속도가 $O(h^{k+1})$로 확립된다.
• $k=1$에서 $5$까지의 수치 결과는 이론과 일치하는 수렴 속도를 보이며, $L^2$ 노름에서 약 $2k$, 이산 $H^1$ 노름에서 $k$의 수렴 속도를 나타낸다.
• $P_1$ 요소의 경우 $L^2$ 오차 수렴 속도는 약 2.09이며, 메esh를 세밀하게 할수록 2.00에 수렴한다.
• $P_5$ 요소의 경우 $L^2$ 오차 수렴 속도는 6.00에 도달하여 이론적으로 예측된 $O(h^6)$ 수렴을 확인한다.
• 이 방법은 대칭적이며 양의 정부호인 시스템 행렬을 생성하여 표준 IPDG 방법에 비해 해법 절차를 단순화한다.