[논문 리뷰] A construction of local Lie groupoids using Lie algebroid sprays

Alejandro Cabrera|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 리 대수다발을 통합하기 위해 리 대수다발 스프레이나를 사용하여 국소 리 군자름을 직접적이고 연결 기반으로 구성한다. 이를 '스프레인 군자름'이라 칭한다. 이 방법은 무한소 승법적 대상을 통합하기 위한 명시적 공식을 제공하며, 해당하는 국소 심플렉틱, 전심플렉틱 또는 접촉 군자름을 통해 푸아송, 딜라크, 자코비 기하학적 구조의 구체적 통합을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We give a direct, explicit and self-contained construction of a local Lie groupoid integrating a given Lie algebroid which only depends on the choice of a connection. We also give a complete account of local Lie theory based on these explicit constructions. On the resulting local Lie groupoid, called a spray groupoid, we obtain formulas for integrating infinitesimal multiplicative objects. These general results produce concrete integrations of several geometrical structures: (Nijenhuis-)Poisson, Dirac, Jacobi structures by local symplectic (Nijenhuis), presymplectic, contact groupoids, respectively. Joint work with A. Cabrera and I. Marcut.

연구 동기 및 목표

• 주어진 리 대수다발을 통합하는 자가 독립적이고 명시적인 국소 리 군자름의 구축을 제공한다.
• 보조적 또는 간접적인 통합 방법에 의존하지 않고, 오직 연결의 선택에 의존함으로써 이를 제거한다.
• 구체적인 기하학적 구성에 기반하여 국소 리 이론의 기초를 마련한다.
• 결과 군자름에서 무한소 승법적 대상의 명시적 공식을 도출한다.
• 이 틀을 적용하여 특정 기하학적 구조—푸아송, 딜라크, 자코비—를 해당하는 국소 군자름으로 통합한다.

제안 방법

• 국소 군자름의 구조를 구성하는 중심 기하 도구로 리 대수다발 스프레인을 사용한다.
• 선택된 연결과 관련된 스프레인 벡터장의 적분 곡선을 통해 국소 군자름을 구성한다.
• 리 대수다발에 대한 연결을 사용하여 표준 스프레인을 정의함으로써, 보조 선택에 의존하지 않고 명시적인 구성이 가능하도록 보장한다.
• 결과 군자름의 구조를 활용하여 무한소 승법적 텐서와 기하학적 대상을 통합한다.
• 스프레인의 동차성과 곡률 성질을 활용하여 명시적 통합 공식을 유도한다.
• 이 틀을 알려진 기하학적 구조에 적용하여, 스프레인 군자름이 자연스럽게 심플렉틱, 전심플렉틱 또는 접촉 군자름의 구조를 유도함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 연결만을 사용하여 리 대수다발에서 국소 리 군자름을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 리 대수다발 스프레인은 무한소 승법적 대상을 직접 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 결과로 얻어진 스프레인 군자름은 푸아송 또는 자코비 구조와 같은 특정 기하학적 구조를 어떻게 통합하는가?
• RQ4 이 구성이 추상적이거나 간접적인 통합 기법에 의존하지 않고 자가 독립적이고 독립적으로 이루어질 수 있는가?
• RQ5 결과로 얻어진 국소 군자름에서 승법적 텐서를 통합하는 명시적 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 리 대수다발을 통합하는 직접적이고 명시적이며 자가 독립적인 국소 리 군자름의 구성이 리 대수다발 스프레인을 통해 달성된다.
• 이 구성은 오직 연결의 선택에 의존하므로, 표준적이며 계산에 접근 가능하다.
• 결과 군자름인 '스프레인 군자름'은 무한소 승법적 대상을 통합하는 명시적 공식을 지원한다.
• 이 틀은 국소 심플렉틱, 전심플렉틱, 접촉 군자름을 통해 니젠하이스-푸아송, 딜라크, 자코비 구조를 각각 구체적으로 통합한다.
• 이 방법은 이러한 명시적 구성에 기반하여 완전한 국소 리 이론을 수립하며, 다양한 기하학적 통합 문제를 통합한다.
• 스프레인 군자름 구성은 승법적 구조로 자연스럽게 확장되며, 푸아송 기하학과 자코비 기하학에서 기하학적 대상을 통합하기 위한 체계적인 접근법을 제공한다.