[논문 리뷰] A Continuation Method for Large-Scale Modeling and Control: from ODEs to PDE, a Round Trip

Denis Nikitin, Carlos Canudas de Wit외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 25.

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한 줄 요약

본 논문은 공간적으로 분포된 ODE를 PDE로 변환하는 연속화 방법을 제시하여 해석 및 제어가 가능하게 하며, 비선형 확장 및 Hilbert’s 6th problem과 다에이전트 제어를 포함한 다수의 응용을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we present a continuation method which transforms spatially distributed ODE systems into continuous PDE. We show that this continuation can be performed both for linear and nonlinear systems, including multidimensional, space- and time-varying systems. When applied to a large-scale network, the continuation provides a PDE describing evolution of continuous state approximation that respects the spatial structure of the original ODE. Our method is illustrated by multiple examples including transport equations, Kuramoto equations and heat diffusion equations. As a main example, we perform the continuation of a Newtonian system of interacting particles and obtain the Euler equations for compressible fluids, thereby providing an original alternative solution to Hilbert's 6th problem. Finally, we leverage our derivation of the Euler equations to control multiagent systems, designing a nonlinear control algorithm for robot formation based on its continuous approximation.

연구 동기 및 목표

• 공간 구조를 보존하면서 대규모 공간 분포 ODE를 컴팩트한 PDE 표현으로 교체할 필요성을 동기 부여한다.
• 선형, 비선형 및 공간-시간 가변 시스템에 대해 이산화를 역전시켜 ODE에서 PDE를 얻는 일반적인 연속화 프레임워크를 개발한다.
• PDE 근사가 원래 ODE 스펙트럼과 연결되는 타당성과 수렴 결과를 확립한다.
• 고전적 및 새로운 예제로 이 접근법을 시연하며, 입자 시스템이 Euler equations로 수렴하는 사례 및 로봇 형성 제어를 포함한다.

제안 방법

• 1D 격자에서 선형 공간 불변 ODE에 대해 유한 차분 이산화를 PDE 표현으로 대체하는 연속화 절차를 정의한다.
• 선형 확장 및 선택된 차수 d까지 ODE 항을 PDE 도함수로 매핑하기 위해 Taylor 전개와 행렬 기반 형식을 사용한다(여기서 d+1은 PDE의 도함수 차수를 나타낸다).
• 유효한 연속화를 위한 조건을 도출한다(정리 1: d+1 ≥ N) 이는 PDE의 이산화가 원래 ODE를 회복함을 보장한다.
• 스펙트럼 수렴성을 분석한다(정리 2) d → ∞일 때 PDE 스펙트럼이 ODE 스펙트럼으로 수렴하는 것을 보이며, 비균일 수렴 및 안정성 주의사항에 대해 주석을 달아 둔다.
• 계산 그래프를 통해 비선형 시스템으로 프레임워크를 확장하고, 유사한 서브그래프를 도입하며 재귀적 연속화를 통해 비선형 PDE를 얻는다.
• 다차원적이고 공간 의존적이며 경계에 의한 영향이 있는 시스템으로 방법을 확장하고, 입자 동역학으로부터 Euler-like PDE를 도출하는 방법과 PDE 기반 제어를 다에이전트 형성에 적용하는 방법을 개요화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 공간 분포 ODE를 원래의 공간 구조를 보존하는 PDE로 어떻게 충실하게 변환할 수 있는가?
• RQ2 특히 스펙트럼 용어에서 ODE에서 PDE로의 연속화 수행 시 정확도 및 수렴 보장은 무엇인가?
• RQ3 경계가 있는 비선형, 공간-시간 가변 및 다차원 시스템으로 연속화 프레임워크를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 도출된 PDE 표현이 대규모 다에이전트 시스템의 제어 설계에 정보를 제공할 수 있는가, 그리고 연속 제어를 원래 에이전트로 다시 이산화할 수 있는가?
• RQ5 연속화 접근을 검증하는 구체적 시연은 무엇인가(예: 운송, Kuramoto, 열 확산 및 입자 시스템으로부터의 Euler equations)?

주요 결과

• 연속화에 의해 얻은 PDE는 연속화 차수가 증가함에 따라 스펙트럼적으로 원래 ODE로 수렴한다(정리 2).
• 타당한 연속화는 PDE 도함수 차수 d+1 ≥ N을 만족해야 하며, 이는 PDE 이산화가 원래 ODE를 회복함을 보장한다(정리 1).
• 이 프레임워크는 입자 동역학으로부터 고전 PDE를 재현할 수 있으며, 예를 들어 뉴튼 상호작용 입자 모델로부터 압축성 유체의 Euler equations를 도출한다.
• 계산 그래프 표현을 사용하여 비선형 동역학을 처리할 수 있으며, 이를 통해 비선형 PDE로의 연속화를 가능하게 한다.
• 이 방법은 PDE 표현을 도출한 다음 설계된 연속 제어를 원래 에이전트로 다시 이산화하는 제어 설계의 경로를 제공하며(그림 1에 프레임워크가 예시되어 있음).
• 예시로 운송, Kuramoto-type 상호작용, 열 확산은 물론 Newtonian-to-Euler 도출 및 형성 제어 응용이 포함된다.