[논문 리뷰] A continuous/discontinuous Galerkin solution of the shallow water equations with dynamic viscosity, high-order wetting and drying, and implicit time integration

Simone Marras, Michal A. Kopera외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 15.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 57인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동적 점성도, 고차수 습윤/건성, 암시적 시간 적분을 갖춘 얕은 수면 방정식에 대한 고차수 연속/불연속 갈레르킨(CG/DG) 방법을 제시한다. 잔차 기반의 미세구조 스케일 점성도를 사용하여 조정 없이 날카로운 파면 근처의 기브스 진동을 억제하며, 굵은 격자에서도 정확도와 안정성을 유지하고, ESDIRK 시간 적분을 통해 10배 큰 CFL 수치를 갖는 안정적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The high-order numerical solution of the non-linear shallow water equations (and of hyperbolic systems in general) is susceptible to unphysical Gibbs oscillations that form in the proximity of strong gradients. The solution to this problem is still an active field of research as no general cure has been found yet. In this paper, we tackle this issue by presenting a dynamically adaptive viscosity based on a residual-based sub-grid scale model that has the following properties: $(i)$ it removes the spurious oscillations in the proximity of strong wave fronts while preserving the overall accuracy and sharpness of the solution. This is possible because of the residual-based definition of the dynamic diffusion coefficient. $(ii)$ For coarse grids, it prevents energy from building up at small wave-numbers. $(iii)$ The model has no tunable parameter. Our interest in the shallow water equations is tied to the simulation of coastal inundation, where a careful handling of the transition between dry and wet surfaces is particularly challenging for high-order Galerkin approximations. In this paper, we extend to a unified continuous/discontinuous Galerkin (CG/DG) framework a very simple, yet effective wetting and drying algorithm originally designed for DG [Xing, Zhang, Shu (2010)]. We show its effectiveness for problems in one and two dimensions on domains of increasing characteristic lengths varying from centimeters to kilometers. Finally, to overcome the time-step restriction incurred by the high-order Galerkin approximation, we advance the equations forward in time via a three stage, second order explicit-first-stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) time integration scheme. Via ESDIRK, we are able to preserve numerical stability for an advective CFL number 10 times larger than its explicit counterpart.

연구 동기 및 목표

• 강한 기울기 및 파면 근처에서 얕은 수면 방정식의 고차수 갈레르킨 해법에서 발생하는 물리적으로 비합리적인 기브스 진동을 해결한다.
• 필요한 곳에서만 작동하는 강력하고 파rameter-free 안정화 방법을 개발하여 해의 정확도와 날카로움을 유지한다.
• 작은 波수 모드에서 에너지가 축적되지 않도록 하여 굵은 격자에서도 고차수 해법의 안정성을 확보한다.
• DG 전용 습윤/건성 알고리즘을 고차수 정확도와 양의 성질을 유지하면서 통합된 CG/DG 프레임워크로 확장한다.
• 고차수 갈레르킨 방법의 시간단계 제약을 극복하기 위해 암시적 ESDIRK 시간 적분 방법을 사용하여 안정성과 10배 큰 안정적 CFL 수치를 확보한다.

제안 방법

• 잔차 기반의 동적 미세구조 스케일(Dyn-SGS) 점성도 모델을 구현하여, 잔차에 의해 정의된 고기울기 영역에서만 자동으로 확산을 추가한다.
• 연속 및 불연속 갈레르킨 형식에 Dyn-SGS 모델을 통합하여 사용자 조정 없이 고차수 해법을 안정화한다.
• 원래 DG 전용으로 설계된 기울기 제한기(DG 전용)를 CG에 적용하기 위해 건조 영역에서 얇은 물층을 조합하여 고차수 정확도와 이동 경계에서의 매끄러움을 유지한다.
• 세 단계, 2차 수준의 명시적 첫 번째 단계를 갖는 단일 대각선 암시적 룬게-쿠타(ESDIRK) 방법을 사용하여, 명시적 방법 대비 10배 큰 안정적 CFL 수치를 확보한 안정적 시간 적분을 가능하게 한다.
• 일차원 및 이차원 얕은 수면 시험 케이스(단일 산기 및 해안 침수 문제 포함)에 적용하여 센티미터에서 킬로미터까지 다양한 척도에서 성능을 검증한다.
• 운동 에너지 스펙트럼을 계산하여 해법의 에너지적 행동을 평가하고, 인위적 점성도가 수치적 안정성과 정확도에 미치는 영향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔차 기반의 동적 점성도가 고차수 CG/DG 해법에서 기브스 진동을 효과적으로 억제하면서 해의 날카로움을 떨어뜨리지 않고 해결할 수 있는가?
• RQ2 CG 및 DG 형식 모두에서 굵은 격자에서 작은 파수 모드에 에너지가 축적되는 것을 방지하기 위해 Dyn-SGS 모델이 얼마나 효과적인가?
• RQ3 DG 전용 습윤/건성 알고리즘이 통합된 CG/DG 프레임워크로 성공적으로 확장되어 고차수 정확도와 양의 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 ESDIRK 시간 적분 방법이 고차수 갈레르킨 시뮬레이션에서 안정성을 향상시키고 시간단계를 크게 늘리는 데 얼마나 기여하는가?
• RQ5 DG 내부의 고유한 소산성과 함께, 잔차 기반 활성화가 낮은 필요성을 감지할 경우 Dyn-SGS 모델이 여전히 효과적이고 자율적으로 작동하는가?

주요 결과

• Dyn-SGS 모델은 CG 및 DG 해법 모두에서 날카로운 파면 근처의 기브스 진동을 성공적으로 억제하면서 전체 해의 날카로움이나 정확도를 훼손하지 않았다.
• 굵은 격자(Δx ≥ 0.4 m)에서 Dyn-SGS 모델은 고파수 모드에서 물리적으로 비합리한 에너지 축적이 발생하지 않도록 하여 CG 및 DG 형식 모두에서 수치적 안정성을 확보했다.
• 모델은 파rameter-free이며 자율적으로 작동한다: 잔차가 강한 기울기를 감지할 경우에만 활성화되며, 매끄러운 영역에서는 비활성 상태를 유지한다.
• ESDIRK 시간 적분 방법은 명시적 방법 대비 10배 큰 안정적 CFL 수치를 확보하여 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 하였고, 계산 효율을 크게 향상시켰다.
• 확장된 습윤/건성 알고리즘은 1D 및 2D 문제 모두에서 명목상의 고차수 정확도를 유지하며 이동 경계에서 해의 매끄러움을 유지했다.
• 에너지 스펙트럼 비교 결과, 안정화된 CG 및 DG 해법은 고해상도에서 비점성 해법보다 더 우수한 에너지 행동을 보였으며, 특히 굵은 해상도에서 두드러졌다.