[논문 리뷰] A continuum of incomplete intermediate logics

Tadeusz Litak|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 20.

Logic, Reasoning, and Knowledge인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 페인과 잔코프의 영감을 받은 프레임의 수열을 사용하여 케플러-불완전한 중간 논리의 연속체를 구성한다. 자연수의 서로 다른 부분집합이 특징적인 잔코프 공식을 통해 서로 다른 불완전한 중간 논리를 생성함을 증명하며, 중간 논리의 완전성에 관한 오랫동안 존재하던 문헌의 빈도를 메운다.

ABSTRACT

This paper generalizes the 1977 paper of V.B. Shehtman, which constructed the first Kripke incomplete intermediate logic, by presenting a continuum of such logics. This version fixes an error in my simplified proof of incompleteness of Shehtman's original logic.

연구 동기 및 목표

• 중간 논리의 완전성에 관한 오랜 동안 존재하던 빈도를 메우기 위해 케플러-불완전한 중간 명제 논리의 연속체가 존재함을 증명하는 것.
• 1977년 셰트만이 단일 불완전한 중간 논리를 구성한 것을 전체 연속체로 확장하는 것.
• 자연수의 서로 다른 부분집합이 모두 불완전한 서로 다른 중간 논리를 유도함을 보여주는 것.
• 프레임에 의해 정의된 논리에서 특정 추론 규칙의 비적용 가능성 때문에 불완전성이 발생함을 보여주는 것.
• 관계적 의미론이 중간 논리에서 모달 논리와 비교해 어떤 한계를 지닌지를 명확히 하며, 핵심 결과에 대한 초월초기논리적 대응이 부족함을 강조하는 것.

제안 방법

• n ∈ ω에 대해 Kripke 프레임 $\mathcal{F}_n$의 수열을 구성하며, 페인과 잔코프가 사용한 것과 유사한 구조를 취하되 복잡도를 점차 증가시킨다.
• 서브셋 $\omega$ 기반의 논리를 정의하기 위해 특징적인 잔코프 공식 $\beta^\#(\mathcal{F}_m, \bot)$을 사용하여 서로 다른 논리를 보장한다.
• p-모르피즘의 비환원성 논증을 적용: n ≠ m일 때, $\mathcal{F}_n$의 생성된 부분프레임에서 $\mathcal{F}_m$으로의 p-모르피즘은 존재하지 않으며, 페인 프레임에서 어떤 $\mathcal{F}_n$으로도 존재하지 않는다.
• 셰트만의 정리(모달 동반자 불완전성은 중간 논리의 불완전성과 연결됨)를 적용: $L$이 불완전함 ⇔ 그 모달 동반자 $\tau L$이 불완전함.
• 모든 프레임 $\mathcal{F}_n$이 셰트만의 공리 $\delta$, $\kappa$, 및 $bb_2$를 만족함을 확인하여 논리가 잘 정의된 중간 확장임을 보장한다.
• 페인 프레임는 $\delta$, $\kappa$, 및 $bb_2$를 만족하지만 $\epsilon$는 만족하지 않음을 이용하여 핵심 추론 규칙의 비적용 가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 문헌에서 이러한 결과가 부족한 바에도 불구하고, 케플러-불완전한 중간 논리의 연속체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 특정 프레임 수열의 잔코프 공식을 통해 $\omega$의 서로 다른 부분집합이 서로 다른 중간 논리를 생성하는가?
• RQ3 p-모르피즘의 비환원성과 비적용 가능한 추론 규칙을 통해 이러한 논리의 불완전성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 표준 모달 논리 기법들(예: p-모르피즘, 프레임 환원)이 중간 논리 설정에서 완전성을 확보하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 페인과 잔코프의 모달 논리에서의 결과들이 중간 논리 분야에서 어떤 정도의 대응을 가지는가?

주요 결과

• 자연수 집합 $\omega$의 서로 다른 부분집합이 프레임 수열 $\mathcal{F}_n$의 잔코프 공식을 인덱싱하여 케플러-불완전한 중간 논리의 연속체를 구성할 수 있음.
• 모든 $n \in \omega$에 대해, $\delta$, $\kappa$, $bb_2$, 및 $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$로 정의된 논리 $L_n$은 비적용 가능한 추론 규칙으로 인해 불완전함.
• n ≠ m일 때, $\mathcal{F}_n$의 생성된 부분프레임에서 $\mathcal{F}_m$으로의 p-모르피즘이 존재하지 않으며, 이는 논리의 상이성을 보장한다.
• 페인 프레임의 생성된 부분프레임에서 어떤 $\mathcal{F}_n$으로도 p-모르피즘이 존재하지 않으며, 이는 $\mathcal{F}_n$의 잔코프 공식이 페인 프레임에서 성립하지 않음을 의미한다.
• 각 $\mathcal{F}_n$이 자신의 잔코프 공식 $\beta^\#(\mathcal{F}_n, \bot)$를 만족하지만 다른 프레임 수열의 공식은 만족하지 않기 때문에, 논리는 상호로 서로 다름.
• 주요 결과(정리 11)는 이전 버전에서 잘못된 증명이 있었지만, 구글라임 마사스에 의해 독립적으로 수정되었으며, 불완전한 논리의 연속체가 존재한다는 핵심 주장은 그대로 유지된다.