[논문 리뷰] A convergence framework for inexact nonconvex and nonsmooth algorithms and its applications to several iterations

Tao Sun, Hao Jiang외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 12.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정확한 비볼록 및 비미분가능 최적화 알고리즘을 위한 새로운 수렴 프레임워크를 제안하며, 노이즈의 유한한 에너지 조건과 Kurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 성질 하에 임계점으로의 전역 수렴을 확립한다. 가상의 충분한 내림내림 조건, 가상의 상대 오차 조건, 그리고 보조 수열과 연결된 연속성 조건을 도입함으로써, 새로운 라플라스 함수를 통해 수렴을 증명하는 프레임워크는 기존의 프록시멀 그라디언트 및 ADMM와 같은 고전적 알고리즘의 비정확한 변형으로까지 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the convergence of an abstract inexact nonconvex and nonsmooth algorithm. We promise a pseudo sufficient descent condition and a pseudo relative error condition, which are both related to an auxiliary sequence, for the algorithm; and a continuity condition is assumed to hold. In fact, a lot of classical inexact nonconvex and nonsmooth algorithms allow these three conditions. Under a special kind of summable assumption on the auxiliary sequence, we prove the sequence generated by the general algorithm converges to a critical point of the objective function if being assumed Kurdyka- Lojasiewicz property. The core of the proofs lies in building a new Lyapunov function, whose successive difference provides a bound for the successive difference of the points generated by the algorithm. And then, we apply our findings to several classical nonconvex iterative algorithms and derive the corresponding convergence results

연구 동기 및 목표

• 기본적인 내림내림 조건과 상대 오차 조건을 위반하는 비정확한 비볼록 및 비미분가능 알고리즘에 대한 수렴 프레임워크 부족 문제를 해결하기 위해.
• 노이즈의 크기가 스텝 사이즈에 비례한다는 강한 가정이 필요 없는 비정확성에 대한 강건한 수렴 이론을 개발하기 위해.
• 프록시멀 그라디언트, ADMM, DC 알고리즘과 같은 고전적 알고리즘의 비정확한 변형으로 기존 수렴 결과를 확장하기 위해.
• Kurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 성질과 합계가 가능한 노이즈 가정 하에 임계점으로의 수렴을 확립하기 위해.
• 비볼록 최적화에서의 비정확 반복 분석을 위한 통합된 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 엄격한 내림내림 조건과 오차 경계를 대체하기 위해 보조 수열과 연결된 가상의 충분한 내림내림 조건과 가상의 상대 오차 조건을 도입한다.
• 수렴하는 부분수열이 정류점으로 수렴할 때 목적 함수 값이 수렴하도록 보장하는 연속성 조건을 정의한다.
• 반복점 간의 거리를 제어하는 성질을 갖는 새로운 라플라스 함수를 구성하여 수렴 증명을 가능하게 한다.
• Kurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 성질과 노이즈의 유한한 에너지 조건(즉, 합계가 가능한 노이즈)을 사용하여 임계점으로의 수렴을 보장한다.
• 반세미대수적 목적 함수와 이러한 조건 하에 수열이 전역적으로 임계점으로 수렴함을 증명한다.
• 이 프레임워크를 특정 비정확 알고리즘에 적용하여, 노이즈 감쇠가 O(1/k^α), α > 1와 같이 약한 조건 하에서도 수렴 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정확한 비볼록 및 비미분가능 알고리즘에 대해 고전적인 충분한 내림내림 조건과 상대 오차 조건을 만족하지 못하는 경우에도 수렴 프레임워크를 수립할 수 있는가?
• RQ2 비정확 알고리즘이 생성하는 수열이 반세미대수적 목적 함수의 임계점으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 프록시멀 그라디언트, ADMM, DC 알고리즘과 같은 고전적 알고리즘의 비정확 변형으로의 수렴 분석을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 기본 내림내림 조건과 오차 조건이 실패할 경우 보조 수열이 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 스텝 사이즈에 비례함을 요구하지 않고도 합계가 가능한 노이즈를 수용할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 KŁ 성질과 합계가 가능한 노이즈 조건 하에 비정확한 비볼록 및 비미분가능 알고리즘의 전역 수렴을 보장하며, 임계점으로 수렴한다.
• 노이즈가 O(1/k^α), α > 1로 감쇠할 경우, 수열의 길이가 유한하다. 즉, ∑(‖x^{k+1}−x^k‖ + ‖y^{k+1}−y^k‖) < ∞ 이다.
• 비정확한 비볼록 ADMM의 경우 KŁ 성질과 합계가 가능한 노이즈 조건 하에 수렴이 확립되며, 보조 수열이 유계성과 수렴성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 비정확한 프록시멀 그라디언트, 프록시멀 교차선형 최소화, 재가중, DC, ADMM 방법 등 다양한 비정확 알고리즘에 적용 가능하다.
• 반복점 간의 차이를 제어하는 성질을 갖는 새로운 라플라스 함수가 구성되었으며, 이는 엄격한 내림내림 조건이나 오차 조건을 요구하지 않아도 수렴 증명이 가능하게 한다.
• 목적 함수의 하부 연속성과 부분수열 값의 수렴성을 통해 연속성 조건이 검증되었으며, 이는 부분수열을 따라 함수 값 수렴을 보장한다.