[논문 리뷰] A convergent numerical method for a multi-frequency inverse source problem in inhomogenous media

Loc H. Nguyen, Qitong Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 29.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 헬름홀츠 방정식에 의해 지배되는 비균질 매질에서 다주파수 역원천 문제를 해결하기 위한 수렴하는 수치적 방법을 제안한다. 문제를 결합된 타원형 편미분방정식의 경계값 문제로 재구성하고, 준역전법(Quasi-reversibility method)을 적용함으로써, 새로운 카르레만 추정을 사용하여 최소화자의 유일성, 존재성 및 수렴성을 증명하였다. 수치 실험을 통해 노이즈가 있는 데이터 조건에서도 복잡한 원천 함수를 정확히 재구성하는 데 성공하였다.

ABSTRACT

A new numerical method to solve an inverse source problem for the Helmholtz equation in inhomogenous media is proposed. This method reduces the original inverse problem to a boundary value problem for a coupled system of elliptic PDEs, in which the unknown source function is not involved. The Dirichlet boundary condition is given on the entire boundary of the domain of interest and the Neumann boundary condition is given on a part of this boundary. To solve this problem, the quasi-reversibility method is applied. Uniqueness and existence of the minimizer are proven. A new Carleman estimate is established. Next, the convergence of those minimizers to the exact solution is proven using that Carleman estimate. Results of numerical tests are presented.

연구 동기 및 목표

• 비균질 매질에서 다주파수 경계 측정치로부터 알려지지 않은 원천 함수를 재구성하기 위한 안정적이고 수렴하는 수치적 방법을 개발하는 것.
• 변수 계수와 굴절률을 가진 헬름홀츠 방정식에 대한 역원천 문제를 노이즈 존재 조건에서도 다루는 것.
• 새로운 카르레만 추정을 통해 수치적 해의 이론적 수렴성을 확립하는 것.
• 다양한 원천 구조, 특히 포함체, 고리형, 연속 표면을 포함한 다양한 구성에서 수치적 검증을 수행하는 것.
• 문제가 부족한 경우에도 5% 노이즈 조건에서의 강인성을 입증하는 것.

제안 방법

• 역원천 문제를 원천 함수를 편미분방정식에서 제거한 결합된 타원형 편미분방정식의 경계값 문제로 변환한다.
• 영역의 전체 경계에 디리클레 경계 조건을 적용하고, 특히 상단면 Γ₊에서 노이만 조건을 적용한다.
• 결과적으로 발생하는 불안정한 경계값 문제를 안정화하고 해를 구하기 위해 준역전법을 사용한다.
• 최소화자의 진짜 해로의 수렴성을 보장하기 위한 이론적 기초를 마련하기 위해 새로운 카르레만 추정을 유도한다.
• 주파수에 따라 변하는 원천의 성분을 근사하기 위해 유한 푸리에 급수를 사용하여 수치적 구현을 가능하게 한다.
• 최소화 문제를 수치적으로 해결하고, 알려진 주파수 응답 g(k)를 이용한 역 스케일링을 통해 재구성된 원천 함수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균질 매질에서 헬름홀츠 방정식에 의해 지배되는 다주파수 역원천 문제에 대해 수렴하는 수치적 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법이 현실적인 노이즈 수준에서 계산된 해가 진짜 원천 함수로 수렴하는가?
• RQ3 준역전법이 다주파수 데이터에서 유도된 결합된 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 새로운 카르레만 추정은 이 맥락에서 최소화자의 수렴성 증명을 어떻게 뒷받침하는가?
• RQ5 노이즈가 있는 데이터 조건에서 복잡한 원천 형태(비콤팩트 지지, 연속 표면 포함)에 대해 이 방법은 어느 정도 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 새로운 카르레만 추정을 통해 계산된 해가 진짜 원천 함수로 수렴하는 것이 증명되었다.
• 5% 노이즈 조건에서 정사각형 빈칸 구조에서 양수 및 음수 원천 값에 대해 각각 9.0% 및 11.0%의 상대 오차를 보였다.
• 고리형 원천 테스트에서는 양수 및 음수 값에 대해 각각 12.0% 및 3.0%의 상대 오차를 기록했으며, 5% 노이즈 조건에서 성능을 유지를 하였다.
• 연속 표면 원천(MATLAB의 'peaks' 함수)의 경우, 최댓값과 최솟값에 대해 각각 9.1% 및 16.0%의 상대 오차를 기록했으며, 5% 노이즈 조건에서도 잘 작동하였다.
• Γ₊에서의 노이만 데이터가 없어도 성능이 양호하여 과다 결정 문제에 대한 강인성을 보였다.
• 모든 테스트 케이스에서 재구성된 파동장 v(x,k) = u(x,k)/g(k)가 실수 및 허수 부분 모두에서 진짜 장과 밀도 있게 일치하였다.