[논문 리뷰] A Convergent Staggered Scheme for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations

J.‐C. Latché, Khaled Saleh|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 23.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 42인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 Rannacher-Turek 요소와 유한체적 기반의 대류 이산화를 사용하여 이산 운동에너지 균형을 유지하는 시간에 따라 변하는 밀도를 갖는 비압축성 스토크스 방정식에 대해 수렴성, 암시적, 스타게이티드 유한요소 스킴을 제시한다. 주요 기여는 메쉬와 시간 간격이 0으로 갈수록 이산 스킴의 해가 연속 문제의 약한 해로 수렴함을 엄밀히 증명한 것으로, 콤팩트니스 및 위상수학적 차수 이론을 통해 수렴성과 약한 해의 존재성을 동시에 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we analyze a scheme for the time-dependent variable density Navier-Stokes equations. The algorithm is implicit in time, and the space approximation is based on a low-order staggered non-conforming finite element, the so-called Rannacher-Turek element. The convection term in the momentum balance equation is discretized by a finite volume technique, in such a way that a solution obeys a discrete kinetic energy balance, and the mass balance is approximated by an upwind finite volume method. We first show that the scheme preserves the stability properties of the continuous problem (L $\infty$-estimate for the density, L $\infty$ (L 2)-and L 2 (H 1)-estimates for the velocity), which yields, by a topological degree technique, the existence of a solution. Then, invoking compactness arguments and passing to the limit in the scheme, we prove that any sequence of solutions (obtained with a sequence of discretizations the space and time step of which tend to zero) converges up to the extraction of a subsequence to a weak solution of the continuous problem.

연구 동기 및 목표

• 가변 밀도 비압축성 스토크스 방정식에 대해 안정적이고 일致하며 수렴하는 수치 스킴을 개발하는 것.
• 이산 스킴이 운동에너지 균형을 유지함으로써 시뮬레이션의 안정성과 신뢰성에 기여함을 보장하는 것.
• 메쉬 및 시간 간격이 0으로 갈수록 이산 해가 연속 문제의 약한 해로 수렴함을 증명하는 것.
• 연속 이론에 의존하지 않고 위상수학적 차수 이론과 콤팩트니스 논증을 통해 이산 해의 존재성을 확립하는 것.

제안 방법

• 속도와 압력에 대해 Rannacher-Turek 요소를 기반으로 한 비연속 유한요소 방법을 사용하는 스타게이티드, 비연속 유한요소 방법과 암시적 시간 이산화를 적용한다.
• 이중 세포에서 유한체적 방법을 사용하여 대류 항을 이산화함으로써 이산 운동에너지 균형을 유지한다.
• 기본 세포에서 업윈드 유한체적 방법을 사용하여 질량 균형을 근사하며, 이중 세포의 밀도와 유량을 재구성하여 일致성을 확보한다.
• 각 메쉬와 시간 단계에 대해 이산 해의 존재성을 보장하기 위해 위상수학적 차수 논증을 적용한다.
• 콤팩트니스 기법을 사용하여 이산 해에서 수렴하는 부분수열을 추출한다.
• 이산 방정식에서 극한을 취함으로써 극한이 연속 문제의 약한 형태를 만족함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 가변 밀도 비압축성 스토크스 방정식에 대한 스타게이티드 유한요소 스킴이 공간 및 시간 이산화 매개변수가 0으로 갈수록 약한 해로 수렴하는가?
• RQ2 이 스킴은 이산 운동에너지 균형을 유지할 수 있으며, 이는 이산 해의 안정성 추정에 기여하는가?
• RQ3 각 이산화 수준에서 이산 해의 존재성이 보장되는가? 그리고 연속 이론에 의존하지 않고 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 기본 세포 데이터로부터 이중 세포 양의 재구성은 이산 설정에서 일치성과 질량 보존을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 속도에 대해 L∞(L2) 및 L2(H1) 추정, 밀도에 대해 L∞(L∞) 추정이 유지되어 연속 문제의 안정성과 유사한 성질을 보인다.
• 이중 세포에서 유한체적 방법을 사용한 대류 이산화로 인해 이산 운동에너지 균형이 유지되어 안정성과 수치적 신뢰도가 향상된다.
• 위상수학적 차수 논증을 통해 각 메쉬와 시간 단계에 대해 이산 해의 존재성이 보장된다.
• 콤팩트니스 및 약한 수렴 논증을 통해 이산 해의 임의의 수열은 (부분수열을 통해) 연속 스토크스 방정식의 약한 해로 수렴한다.
• 최소한의 가정 하에 수렴 결과가 확립되며, 연속 존재 이론에 의존하지 않아서 약한 해의 존재에 대한 구성적 증명을 제공한다.
• 분석은 적절한 안정화를 갖춘 가변 점성 모델로 확장 가능하며, 이산 코른 부등식은 H1 노름에서 속도를 제어한다.