[논문 리뷰] A convex approach to differential inclusions with prox-regular sets: stability analysis and observer design

Samir Adly, Abderrahim Hantoute외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 17.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 리프시츠 조건을 만족하는 페르투르베이션을 갖는 프록스-정규 집합의 정규 벡터장에 의해 지배되는 미분포함수에 대한 볼록 해석 접근법을 제안한다. 최대 단조 연산자 포함 문제와의 등가성을 확립함으로써, 존재성, 리아푸노프 안정성 및 해의 정칙성에 대한 기존의 단조 연산자 이론의 적용이 가능해지며, 이는 지수 수렴성을 보장하는 루엔버거 유사 관측기 설계에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and the stability in the sense of Lyapunov of solutions differential inclusions governed by the normal cone to a prox-regular set and subject to a Lipschitzian perturbation. We prove that such, apparently, more general nonsmooth dynamics can be indeed remodelled into the classical theory of differential inclusions involving maximal monotone operators. This result is new in the literature and permits us to make use of the rich and abundant achievements in this class of monotone operators to derive the desired existence result and stability analysis, as well as the continuity and differentiability properties of the solutions. This going back and forth between these two models of differential inclusions is made possible thanks to a viability result for maximal monotone operators. As an application, we study a Luenberger-like observer, which is shown to converge exponentially to the actual state when the initial value of the state's estimation remains in a neighborhood of the initial value of the original system.

연구 동기 및 목표

• 리프시츠 조건을 만족하는 외부 페르투르베이션을 갖는 프록스-정규 집합의 정규 벡터장에 의해 지배되는 미분포함수의 해의 존재성과 리아푸노프 안정성을 확립하기 위해.
• 프록스-정규 집합에 의해 지배되는 비미분 가능성 동역계와 고전적 최대 단조 연산자 이론 사이의 격차를 메우기 위해.
• 최대 단조 연산자 이론의 풍부한 이론적 기반을 활용하여 해의 연속성 및 미분 가능성 성질을 도출하기 위해.
• 이론적 프레임워크를 활용하여 수렴 보장이 있는 루엔버거 유사 관측기를 설계하기 위해.

제안 방법

• 최대 단조 연산자에 대한 타당성 결과를 활용하여, 프록스-정규 집합 위의 정규 벡터장 포함 문제와 최대 단조 연산자에 의해 지배되는 포함 문제 사이의 등가성을 확립한다.
• 프록스-정규 집합의 정규 벡터장이 포함된 미분포함수를 최대 단조 연산자 포함 문제로 재구성함으로써 기존의 존재성 및 안정성 결과에 접근한다.
• 볼록 해석학 및 단조 연산자 이론의 도구를 적용하여 해의 정칙성, 즉 연속성 및 미분 가능성 등을 분석한다.
• 재구성된 동역학 기반으로 루엔버거 유사 관측기를 구축하여 시스템 상태를 추정한다.
• 초기 추정 오차가 진짜 초기 상태의 이웃에 있을 경우 관측기 오차가 지수적으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 벡터장이 포함된 프록스-정규 집합에 대한 미분포함수는 최대 단조 연산자 프레임워크 내에서 재구성될 수 있는가?
• RQ2 이러한 비미분 시스템에서 해의 리아푸노프 안정성을 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 맥락에서 해의 정규성, 즉 연속성 및 미분 가능성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 이러한 시스템에 대해 루엔버거 유사 관측기를 설계할 수 있으며, 수렴 조건은 무엇인가?
• RQ5 초기 추정 오차가 작을 경우 관측기의 수렴 속도는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 프록스-정규 집합의 정규 벡터장과 리프시츠 조건을 만족하는 외부 페르투르베이션을 갖는 미분포함수는 최대 단조 연산자 포함 문제와 등가이며, 이는 고전적 존재성 및 안정성 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 재구성된 프레임워크 하에서 원래 시스템의 해들이 연속성과 미분 가능성을 갖는 것으로 입증되었으며, 최대 단조 연산자 프레임워크로부터 정규성을 이어받는다.
• 최대 단조 동역계와의 등가성에 기반하여 해의 리아푸노프 안정성이 확립된다.
• 초기 추정 오차가 진짜 초기 상태의 이웃에 있을 경우 진짜 상태로의 지수 수렴이 보장되는 루엔버거 유사 관측기가 설계되었으며, 이를 증명하였다.