[논문 리뷰] A convex data-driven approach for nonlinear control synthesis

Hyungjin Choi, Umesh Vaidya외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 28.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 밀도 함수 기반 안정성 증명서를 라플라스 함수의 이중성으로 사용하여 비선형 제어 합성에 대한 볼록이고 데이터 기반의 접근법을 제안한다. 쿠프만 연산자 이론과 제곱합(SOS) 최적화를 활용하여, 샘플 궤적에서 안정화 제어기와 안정성 증명서를 동시에 설계할 수 있는 볼록 문제를 수립함으로써, 다항식 제어 법칙을 사용하는 비다항 및 혼돈 시스템(예: 로렌츠 애트랙터와 강체 역학 시스템)을 성공적으로 안정화시킨다.

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear control synthesis problems where the underlying mathematical models are not explicitly known. We propose a data-driven approach to stabilize the systems when only sample trajectories of the dynamics are accessible. Our method is founded on the density function based almost everywhere stability certificate that is dual to the Lyapunov function for dynamic systems. Unlike Lyapunov based methods, density functions lead to a convex formulation for a joint search of the control strategy and the stability certificate. This type of convex problem can be solved efficiently by invoking the machinery of the sum of squares (SOS). For the data-driven part, we exploit the fact that the duality results in the stability theory of the dynamical system can be understood using linear Perron-Frobenius and Koopman operators. This connection allows us to use data-driven methods developed to approximate these operators combined with the SOS techniques for the convex formulation of control synthesis. The efficacy of the proposed approach is demonstrated through several examples.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템의 기저 수학 모델이 알려져 있지 않은 상황에서 데이터 기반 제어 합성에 대한 체계적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존 라플라스 기반 접근법에서 일반적으로 비볼록이 되는 비선형 시스템에서의 동시 제어기 및 안정성 증명서 설계 문제를 해결하는 것.
• 밀도 함수와 라플라스 함수 사이의 이중성 관계를 활용하여 제어 합성에서 볼록 최적화를 달성하는 것.
• 데이터 기반 쿠프만 연산자 근사와 제곱합(SOS) 기법을 통합하여 확장 가능하고 효율적인 제어기 설계를 실현하는 것.
• 로렌츠 시스템과 강체 역학 시스템을 포함한 벤치마크 비선형 시스템에 대해 이 방법의 유효성을 입증하는 것. 이 경우 모델 정확도 요구 사항이 매우 낮다.

제안 방법

• 이 방법은 라플라스 함수의 이중성으로 작용하는 밀도 함수를 거의 모든 곳에서의 안정성 증명서로 사용하여, 동시 제어기 및 증명서 탐색을 위한 볼록 형식을 가능하게 한다.
• 이 방법은 제곱합(SOS) 기법을 사용하여 다항식에 대한 볼록 최적화 문제로 제어 합성 문제를 수식화하며, 이는 준선형계획법을 통해 해결할 수 있다.
• 쿠프만 연산자 프레임워크를 사용하여 비선형 역학을 올린 공간에서 선형 표현으로 변환함으로써, 확장된 동적 모드 분해(EDMD)를 통한 데이터 기반 근사를 가능하게 한다.
• 쿠프만 연산자와 이중성을 가지는 페르논-프로베니우스(P-F) 연산자를 시간 시리즈 데이터로부터 근사하여 제어 입력 하에서 확률 밀도의 진화를 모델링한다.
• EDMD 기반의 P-F 연산자 근사와 SOS 기반의 볼록 최적화를 결합하여 샘플 궤적에서 다항식 제어 법칙을 합성한다.
• 제어 법칙과 안정성 증명서에 대한 다항식 기저 함수를 선택하고, P-F 연산자 역학에서 유도된 볼록 제약 조건 하에서 매개변수를 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 모델이 알려져 있지 않지만 샘플 궤적이 가용한 상황에서 비선형 제어 합성에 대한 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 밀도 함수와 라플라스 함수 사이의 이중성은 동시 제어기 및 안정성 증명서 설계에서 볼록성을 달성하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 데이터 기반 쿠프만 및 페르논-프로베니우스 연산자 근사는 비선형 시스템에 대한 효과적인 제어 합성에 얼마나 기여할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 낮은 정확도의 모델을 사용하여 복잡한 비선형 시스템, 예를 들어 혼돈 시스템인 로렌츠 애트랙터와 고차원 강체 역학 시스템을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ5 비다항 동역학을 갖는 시스템에 적용했을 때, 최종적으로 유도된 제어기의 수렴성과 내성에 대한 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 다항식 제어 법칙을 사용하여 비다항 펜듈럼 시스템을 성공적으로 안정화시켰다: $ u(x) = 0.1553x_1^3 - 1.9884x_1 $, 다양한 초기 조건에서 점점 수렴하는 안정성을 달성하였다.
• ρ=28인 로렌츠 시스템에 대해, 선형 제어 법칙 $ u(x) = -26.9591x_1 - 6x_2 $ 를 합성하여 혼돈 궤적이 원점으로 효과적으로 안정화되었다.
• 6개 상태와 3개 입력을 갖는 강체 제어 시스템은 차수 1~3의 다항식 제어 법칙을 사용하여 안정화되었으며, 이는 고차원 시스템으로의 확장 가능성을 보여주었다.
• 모든 시험 케이스에서 합성된 제어 하의 궤적이 평형점으로 수렴한 반면, 개방 루프 동역학은 혼돈적이거나 불안정한 행동을 보였다.
• 단지 $ 10^4 $개의 데이터 포인트와 저차수 다항식 기저 함수만으로도 신뢰할 수 있는 안정화를 달성하여, 낮은 모델 정확도 요구 조건을 확인하였다.
• 볼록 형식 덕분에 SOS 솔버를 통해 효율적인 해법이 가능했으며, 중간 차원 시스템에 대해 이 방법의 계산 가능성을 확인하였다.