[논문 리뷰] A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Control Systems and Identification참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률 분포가 정확히 알려지지 않은 확률적 외란을 받는 선형 이산시간 불변 시스템에 대해 엄격한 이방향 노름 유계 렘마(SANBRL)의 볼록 최적화 공식화를 제시한다. 이방향 노름 유계 조건을 선형 행렬 부등식(LMI)과 행렬식 부등식으로 표현함으로써, 볼록 최적화를 통한 효율적인 계산과 준최적 설계가 가능해지며, 이는 이전의 호모토피 기반 방법에 비해 수치적 처리 가능성에서 크게 향상된다.

ABSTRACT

This paper is aimed at extending the H-infinity Bounded Real Lemma to stochastic systems under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in entropy theoretic terms using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H-infinity norm. A state-space sufficient criterion for the anisotropic norm of a linear discrete time invariant system to be bounded by a given threshold value is derived. The resulting Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma involves an inequality on the determinant of a positive definite matrix and a linear matrix inequality. It is shown that slight reformulation of these conditions allows the anisotropic norm of a system to be efficiently computed via convex optimization.

연구 동기 및 목표

• 외란 분포의 통계적 불확실성이 존재하는 스토크라스틱 시스템으로 ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 유계 렘마를 확장한다.
• 주어진 임계값 이하로 시스템의 이방향 노름이 유계임을 확인할 수 있는 수치적으로 처리 가능한 기준을 개발한다.
• 볼록 최적화를 통한 이방향 노름의 효율적 계산과 준최적 제어기 설계를 가능하게 한다.
• 이방향 제어에서 교차 결합 비선형 행렬 방정식을 해결하는 데 있어 호모토피 기반 솔버의 계산적 한계를 극복한다.
• 이방향 노름을 ${\mathcal{H}_{2}}$ 및 ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 노름의 극한 경우로 통합한다.

제안 방법

• 이방향 노름이 주어진 임계값 이하로 유계임을 보장하는 상태공간 충분조건을 유도하며, 이는 양의 정부호 행렬에 대한 선형 행렬 부등식(LMI)과 행렬식 부등식을 포함한다.
• SANBRL 조건을 재구성하여 볼록 최적화 및 준정적 프로그래밍을 통한 이방향 노름의 효율적 계산이 가능하도록 한다.
• 평균 이방향성 기능을 외란 분포의 통계적 불확실성에 대한 엔트로피 이론적 측도로 사용한다.
• 이방향 노름을 ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 노름의 스토크라스틱 대응으로 적용하여 평균 이방향성이 유계일 때의 외란 감쇠 정도를 정량화한다.
• 기준 시스템에서 호모토피 기반 알고리즘(HBA)과의 계산 성능 비교를 통해 제안 방법을 검증한다.
• 제안된 방법이 외부 입력의 평균 이방향성 수준에 관계없이 일관된 성능을 유지함을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 이산시간 불변 시스템의 이방향 노름은 볼록 최적화 프레임워크를 통해 검증할 수 있는가?
• RQ2 SANBRL의 행렬식 부등식과 LMI 조건는 어떻게 재구성되어야 효율적 계산이 가능해지는가?
• RQ3 기존의 호모토피 기반 솔버에 비해 제안된 볼록 공식화의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ4 ${\mathcal{H}_{2}}$ 및 ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 노름은 이방향 노름의 극한 경우로 어떻게 유도되는가?
• RQ5 제안된 방법은 통계적 불확실성 수준(평균 이방향성)의 변화에 관계없이 강건성과 일관성 있는 성능을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 SANBRL의 볼록 공식화를 통해 볼록 최적화 및 준정적 프로그래밍을 통한 이방향 노름의 효율적 계산이 가능해진다.
• 볼록 최적화 절차(COP)의 평균 CPU 시간은 다양한 평균 이방향성 수준에서 거의 일정하게 유지되며, 평균 3.62초이다. 반면 호모토피 기반 알고리즘(HBA)은 $a$가 증가함에 따라 계산 시간이 증가하는 경향을 보인다.
• COP의 성공률은 약 92.5–93.3%로 안정적으로 유지되며, HBA의 성공률은 $a$가 0에서 20으로 증가함에 따라 93.2%에서 26.5%로 감소한다.
• HBA의 최대 반복 횟수 제한으로 인한 실패 비율은 $a$가 증가함에 따라 0%에서 38.3%로 증가하는 반면, COP의 실패 비율은 13% 이하로 유지된다.
• 이방향 노름 공식화는 ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 제어에 비해 보수성을 감소시키며, 상관관계가 있는 외란에 대해 ${\mathcal{H}_{2}}$ 제어보다 우수한 성능을 제공한다.
• ${\mathcal{H}_{\infty}}$ 및 ${\mathcal{H}_{2}}$ 노름은 각각 평균 이방향성 $a$가 0 또는 무한대로 수렴할 때 이방향 노름의 극한 경우로 복원된다.