[논문 리뷰] A Copositive Approach for Two-Stage Adjustable Robust Optimization with Uncertain Right-Hand Sides

Guanglin Xu, Samuel Burer|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 23.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 우수한 오른쪽 항이 불확실한 두 단계 조정 가능 로버스트 최적화를 위한 코포지티브 프로그래밍 재구성 방법을 제안하며, 표준 선형 정책보다 더 날카운성 있는 국소적 근사치를 가능하게 한다. 이 방법은 증명된 것으로 더 강력하고, 선형 정책이 크게 실패하는 특정 유형의 인스턴스를 정확히 해결할 수 있는 계산적으로 타당한 다항식 시간 내의 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

We study two-stage adjustable robust linear programming in which the right-hand sides are uncertain and belong to a convex, compact uncertainty set. This problem is NP-hard, and the affine policy is a popular, tractable approximation. We prove that under standard and simple conditions, the two-stage problem can be reformulated as a copositive optimization problem, which in turn leads to a class of tractable, semidefinite-based approximations that are at least as strong as the affine policy. We investigate several examples from the literature demonstrating that our tractable approximations significantly improve the affine policy. In particular, our approach solves exactly in polynomial time a class of instances of increasing size for which the affine policy admits an arbitrarily large gap.

연구 동기 및 목표

• 불확실한 오른쪽 항을 가진 두 단계 조정 가능 로버스트 최적화(ARO) 문제를 위한 더 날카운성 있고 계산적으로 타당한 근사치를 개발하는 것. 이 문제는 NP-난해하며 일반적으로 최적해가 아닌 정책을 통해 해결된다.
• 불확실성 집합의 표준 볼록성 및 컴act성 가정 하에 ARO 문제의 코포지티브 최적화 재구성식을 수립하는 것.
• 선형 정책보다 우월하고 계산적으로 타당한 계층적 반정형 프로그램 근사치를 도출하는 것.
• 수치 예제를 통해 제안된 근사치가 선형 정책이 실패하는 경우에 이중성 갭을 크게 줄임을 보여주는 것.
• 코포지티브 접근법이 특정 유형의 두 번째 단계 정책을 암묵적으로 강제하는지 조사하고, 이러한 정책을 내부 근사치의 해에서 어떻게 추출할 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 동차화된 불확실성 집합과 비음수 정규부분공간의 곱 위에서 두 단계 조정 가능 로버스트 선형 프로그래밍 문제를 코포지티브 최적화 문제로 재구성하는 것.
• 코포지티브 재구성식을 이용해 완전히 양의 정합 콘의 내부 근사치를 통해 계산적으로 타당한 내부 근사치를 도출하고, 반정형 프로그램의 계층적 구조를 형성하는 것.
• 내부 근사치 콘 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ 를 정의하여 코포지티브 콘의 계산적으로 타당한 완화를 가능하게 하고, 효율적인 계산을 지원하는 것.
• 표준 가정(콤팩트성, 볼록성, 계산 가능성) 하에 코포지티브 재구성식이 정확하고 내부 근사치가 타당함을 증명하는 것.
• 콘익 최적화 솔버(Mosek 등)를 사용해 방법을 구현하고, 선형 정책 및 몬테카를로 하한과의 성능를 비교하는 것.
• 구조화된 불확실성 집합(예: 2차 원추형)을 가진 랜덤 인스턴스를 사용해 확장성과 갭 감소 성능를 테스트하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 가정 하에 불확실한 오른쪽 항을 가진 두 단계 조정 가능 로버스트 최적화 문제는 정확히 코포지티브 프로그래밍으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 제안된 반정형 기반 근사치의 품질은 일반적으로 사용되는 선형 정책과 비교해 최적화 갭 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 코포지티브 접근법은 선형 정책이 임의로 큰 최적화 갭을 가진 인스턴스를 정확히 해결할 수 있는가?
• RQ4 코포지티브 접근법이 암묵적으로 강제하는 특정 유형의 두 번째 단계 정책(예: 다항식, 비선형)이 존재하는가?
• RQ5 내부 근사치의 해에서 구체적인 정책 $y(\cdot)$ 를 어떻게 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 불확실한 오른쪽 항을 가진 두 단계 조정 가능 로버스트 최적화 문제는 표준 가정 하에 코포지티브 프로그래밍으로 재구성되며, 정확한 표현을 제공한다.
• 제안된 내부 근사치 $\mathrm{IB}(\widehat{\mathcal{U}} \times \mathbb{R}^m_+)$ 는 선형 정책보다 엄밀히 강력한 계산적으로 타당한 반정형 프로그램의 계층적 구조를 제공한다.
• 1,000개의 랜덤 인스턴스 중 971개에서는 새로운 경계 $v_{\mathrm{IB}}^*$ 가 선형 정책 경계 $v_{\mathrm{Aff}}^*$ 와 일치했고, 나머지 29개의 인스턴스에서는 평균 20.2%의 상대적 갭 감소가 관찰되었다.
• 이 방법은 선형 정책이 임의로 큰 최적화 갭을 보이는 증가하는 크기의 인스턴스 클래스를 정확히 해결할 수 있으며, 악성 시나리오에서의 우수성을 입증한다.
• 계산 결과에 따르면 이 방법은 합리적인 확장성을 보인다: 가장 큰 예제(섹션 5.3)는 14,861개의 변수와 73×73 반정형 행렬을 사용해 35초 내에 해결되었고, 1,000개 인스턴스의 평균 시간은 0.73초였다.
• 가정 4(특정 이중 해의 존재성)가 성립하지 않더라도 방법이 여전히 유효하므로, 기술적 가정에 대해 강건함을 보였다.