[논문 리뷰] A counterexample concerning quantifier elimination in quasianalytic structures

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 04.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 쿼시아날리틱 구조가 고전적 실해석적 구조 ℝ_an과 달리 1/x 함수만 추가된 경우에도 양자기소거를 허용하지 않는 반례를 구성한다. 직선화 정리와 Denjoy–Carleman 클래스에 대한 확장 불가능성 정리들을 활용하여, 특정 정의 가능한 곡선이 이 언어로 표현될 수 없음을 증명하며, 이로 인해 쿼시아날리틱 맥락에서 Łojasiewicz의 정리(모든 부분해석적 곡선은 반해석적임)가 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

This paper is a revised version of our preprints IMUJ Preprint 2012/04 and RAAG Preprint 343 from May 2012. It provides an example of a quasianalytic structure which, unlike the classical analytic structure, does not admit quantifier elimination in the language of restricted quasianalytic functions augmented by the reciprocal function. It also demonstrates that Lojasiewicz's theorem that every subanalytic curve is semianalytic is no longer true in quasianalytic structures. Our construction applies rectilinearization of terms, established in our earlier papers, as well as some theorems on power substitution for Denjoy-Carleman classes and on non-extendability of quasianalytic function germs. The last result relies on Grothendieck's factorization and open mapping theorems for (LF)-spaces.

연구 동기 및 목표

• 제한된 쿼시아날리틱 함수 언어에 1/x만 추가된 경우, 이전 연구에서 제기된 쿼시아날리틱 구조가 양자기소거를 갖는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• ℝ_an과 달리, 이러한 쿼시아날리틱 구조가 이 언어에서 양자기소거를 갖지 않을 수 있음을 보여주기 위해.
• 모든 부분해석적 곡선이 반해석적임을 보여주는 Łojasiewicz의 정리가 쿼시아날리틱 맥락에서는 성립하지 않음을 보여주기 위해.
• 쿼시아날리틱 구조 내에서 정의 가능한 곡선 중 일부가 유리함수와 제한된 쿼시아날리틱 함수만으로 매개변수화될 수 없음을 보여주기 위해.
• Grothendieck의 (LF)-공간에 대한 정리들을 활용하여 쿼시아날리틱 함수의 절단에 대한 확장 불가능성 결과를 확립하기 위해.

제안 방법

• 이전 결과들 [18]과 [19]를 바탕으로, 쿼시아날리틱 구조에서의 항의 직선화를 블로업과 거듭제곱 치환을 통해 수행한다.
• Denjoy–Carleman 클래스에 대한 거듭제곱 치환 정리를 적용하여 특이점 근처에서 함수의 국소적 행동을 분석한다.
• Thilliez의 작업에서 발전시킨 쿼시아날리틱 절단에 대한 확장 불가능성 정리를 활용하며, Grothendieck의 인수분해 및 (LF)-공간의 열린 사상 정리에 기반한다.
• 쿼시아날리틱성을 보장하고 도함수에 대해 닫혀 있음을 보장하기 위해, M_n = (log log 3)^{-3} (log log(n+3))^{n+3}로 정의된 특정 쿼시아날리틱 클래스 𝒬_M를 구성한다.
• Puiseux 유형의 매개변수화를 사용하여 모순을 이끌어내며, 곡선이 제한된 언어에서 정의 가능하다면 그 매개변수화가 더 작은 쿼시아날리틱 클래스에 속해야 한다는 점을 활용한다.
• 정리 4.2인 직선화 정리를 적용하여, 언어 내에서 정의 가능한 모든 함수는 블로업과 거듭제곱 치환의 복합함수로 유도되어야 하며, 이 함수가 기대되는 클래스 외부에 있다면 모순이 발생함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 쿼시아날리틱 함수 언어에 1/x만 추가된 경우, 쿼시아날리틱 구조는 양자기소거를 갖는가?
• RQ2 쿼시아날리틱 구조 내에서 정의 가능한 모든 곡선은 유리함수와 제한된 쿼시아날리틱 함수만으로 매개변수화될 수 있는가?
• RQ3 모든 부분해석적 집합이 차원 ≤1이면 반해석적임을 보여주는 Łojasiewicz의 정리는 쿼시아날리틱 구조에서도 성립하는가?
• RQ4 일부 쿼시아날리틱 함수의 절단은 국소적으로도, 더 큰 정의역으로 확장될 수 없는가, 즉 구조의 정의 가능한 함수들과 호환되지 않는가?
• RQ5 1/x만 추가된 경우, 블로업과 거듭제곱 치환을 통한 직선화가 쿼시아날리틱 구조 내 모든 정의 가능한 집합을 완전히 묘사할 수 있는가?

주요 결과

• M_n = (log log 3)^{-3} (log log(n+3))^{n+3}로 정의된 구체적인 쿼시아날리틱 구조 ℝ_𝒬_M는 1/x가 추가된 언어에서 양자기소거를 허용하지 않는다.
• 반례는 원점을 통과하는 평면 곡선으로, ℝ_𝒬_M 내에서 정의 가능하지만, 제한된 𝒬_M-함수와 1/x로 구성된 언어의 어떤 항으로도 정의될 수 없다.
• 이 실패의 원인은 곡선의 0 근처 절단이 𝒬_1(M)^+에 속하지만, 어떤 ⋃_{p odd} 𝒬_1(M^{(p)})에도 속하지 않기 때문이다. 이는 정의 가능성에 필요한 매개변수화 형태와 모순된다.
• 이 결과는 Łojasiewicz의 정리가 쿼시아날리틱 맥락에서 성립하지 않음을 시사한다.
• Grothendieck의 (LF)-공간에 대한 정리를 활용하여, 일부 쿼시아날리틱 절단이 확장될 수 없음을 입증하며, 이러한 절단이 제한된 언어로 표현될 수 없음을 보여준다.
• 이러한 구성은 블로업만을 사용한 직선화가, 심지어 차원 1에서도 모든 정의 가능한 집합을 묘사하는 데에는 부족함을 보여준다.