[논문 리뷰] A counterexample on spectra of zero patterns

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수 체에서 행렬 이론의 $2n$ 추측의 복소수 버전에 대한 반례를 구성한다. $8\times8$ 영 패턴 중에서 비영원소가 오직 $15 = 2\cdot8 - 1$ 개인 것을 제시함으로써, 복소수 체에서 스펙트럴 임의성(spectral arbitrariness)을 갖는다. 저자들은 변수를 포함한 구조적 행렬과代수기하 기법을 사용하여, 복소수 위에서 임의의 모닉 8차 다항식이 특성다항식으로 실현 가능하다는 것을 보이며, 복소수 체에서 스펙트럴 임의성에 필요한 최소 비영원소 수가 $2n$가 아니라는 추측을 반박한다.

ABSTRACT

An $n imes n$ zero pattern $S$, which is a matrix with entries $*$ and $0$, is called spectrally arbitrary with respect to a field $F$ if any monic polynomial $f$ of degree $n$ can be realized as the characteristic polynomial of a matrix obtained from $S$ by replacing the $*$'s with non-zero elements of $F$. We construct an $n imes n$ zero pattern that is spectrally arbitrary with respect to $\mathbb{C}$ and has $2n-1$ nonzero entries.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럴 임의성에 대해 $2n$ 개의 비영원소가 필수적이라는 널리 퍼진 $2n$ 추측을 도전하기 위해, 이는 $\mathbb{R}$ 위에서 $n\times n$ 영 패턴이 스펙트럴 임의성이 되기 위한 최소 비영원소 수가 $2n$임을 주장한다.
• 복소수 체에서 스펙트럴 임의성에 필요한 최소 비영원소 수가 $2n$인지, 이와 같은 추측이 맞는지 조사한다.
• 복소수 체에서 스펙트럴 임의성이 가능한 $2n-1$ 개의 비영원소를 가진 영 패턴의 구체적 예를 구성함으로써, $2n$ 추측의 복소수 해석을 반박한다.
• McDonald와 Yielding가 제기한 스펙트럼 실현 가능성과 스펙트럴 임의성 패턴의 구조에 관한 열린 질문에 답한다.

제안 방법

• 비영원소가 15개인 특정한 $8\times8$ 영 패턴 $S$를 정의하며, 이는 $x_1, \dots, x_8$라는 변수로 표현되며, 각각 복소수에서 영이 아닌 값을 가질 수 있다.
• 패턴 $S$로부터 행렬 $X(x_1, \dots, x_8)$를 구성하고, 그 특성다항식 $\varphi(t) = \det(tI - X)$를 계산한다. 이는 $\mathbb{C}[x_1, \dots, x_8]$의 계수를 갖는 모닉 다항식이다.
• 기호 계산을 통해 계수 $\varphi_4$가 $\varphi_7$의 배수임을 보이며, 이는 $\varphi_7 = 0$이기 위해서는 반드시 $\varphi_4 = 0$이어야 한다는 것을 의미한다. 이는 실현 가능한 다항식의 집합을 제한한다.
• 근의 초대칭 다항식 $\tau_i$에 대해 $x_1, \dots, x_8$의 유리함수 해를 구하여, 모든 모닉 다항식이 실현 가능함을 보이며, 분모나 분자의 유리함수 값이 0이 되지 않는 한 실현 가능하다.
• 모든 분모와 분자의 최소공배수인 다항식 $\pi(\tau_0, \dots, \tau_7)$를 정의함으로써, $\pi \neq 0$이면 다항식이 실현 가능하다는 것을 보장한다.
• 비에타의 공식과 다항식 $\psi(\sigma) = \pi(s_8, \dots, s_1)$의 총 차수 94를 이용하여, 임의의 102개의 서로 다른 복소수로 이루어진 집합은 $S$로 표현 가능한 스펙트럼을 갖는 8개 원소의 부분집합을 포함한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영원소 수가 $2n$ 개 이하인 영 패턴이 복소수 체에서 스펙트럴 임의성이 될 수 있는가?
• RQ2 스펙트럴 임의성에 대해 $2n$ 개의 비영원소가 최소임을 주장하는 $2n$ 추측이 실수 체에서 성립한다면, 복소수 체에 대해서도 동일하게 성립하는가?
• RQ3 블록 대각 행렬 $\operatorname{diag}(A,B)$가 $A$가 스펙트럴 임의성이 아님에도 불구하고 복소수 체에서 스펙트럴 임의성이 될 수 있는가?
• RQ4 영 패턴에 대해 어떤 대수적 조건이 복소수 체에서 스펙트럴 임의성 블록 대각 행렬의 블록이 될 수 있도록 보장하는가?
• RQ5 왜 실수 체의 $2n$ 추측은 복소수 체의 경우보다 반례에 더 강건한가?

주요 결과

• $8\times8$ 영 패턴 $S$는 비영원소가 오직 $15 = 2\cdot8 - 1$ 개 뿐이지만 복소수 체에서 스펙트럴 임의성이 있으며, 이는 $2n$ 추측의 복소수 해석에 대한 반례가 된다.
• 패턴 $S$는 복소수 위에서 임의의 모닉 8차 다항식, 예를 들어 $t^8$과 $(t-1)^8$까지도 특성다항식으로 실현 가능하다.
• 8개의 변수에 대해 총 차수 94인 다항식 $\psi(\sigma)$를 구성하였으며, $\psi(\sigma) \neq 0$이면 복소수 8개의 집합 $\sigma$가 패턴 $S$를 갖는 행렬의 스펙트럼으로 실현 가능하다는 것을 보여준다.
• 708개의 복소수로 이루어진 집합 $U$에서 최소한 102개의 서로 다른 원소를 포함하고 있다면, 그 안에 패턴 $S$를 갖는 행렬의 스펙트럼으로 실현 가능한 8개 원소의 부분집합이 존재한다.
• $1400\times1400$ 크기의 $2\times2$ 전부 $*$인 블록들로 이루어진 블록 대각 행렬 $D_{700}$을 포함하는 블록 대각 행렬 $\operatorname{diag}(S, D_{700})$는 복소수 체에서 스펙트럴 임의성이며, 비영원소 수는 $1415 = 2\cdot708 - 1$개이다.
• 이 결과는 McDonald와 Yielding가 제기한 두 가지 열린 질문에 답한다: 복소수 체에서 $2n-1$ 개의 비영원소를 가진 스펙트럴 임의성 영 패턴의 존재성, 그리고 $\operatorname{diag}(A,B)$는 스펙트럴 임의성이지만 $A$는 그렇지 않은 패턴 $A,B$의 존재성.