[논문 리뷰] A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number

Alvaro Carbonero, Patrick Hompe외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 9인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 임의로 큰 색수를 가지며 클리크 수가 최대 3인 그래프 가족을 구성한다. 이 그래프들에서는 모든 삼각형을 포함하지 않는 유도 부분그래프의 색수는 최대 4이다. 이 구성은 색수는 크지만, 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없고 클리크 수가 유계인 방향 그래프를 사용하여, 색수가 높고 클리크 수가 작은 그래프의 유도 부분그래프에 관한 오랜 동안 제기된 추측을 반박한다.

ABSTRACT

We prove that for every $n$, there is a graph $G$ with $\chi(G) \geq n$ and $\omega(G) \leq 3$ such that every induced subgraph $H$ of $G$ with $\omega(H) \leq 2$ satisfies $\chi(H) \leq 4$. This disproves a well-known conjecture. Our construction is a digraph with bounded clique number, large dichromatic number, and no induced directed cycles of odd length at least 5.

연구 동기 및 목표

• 색수가 높고 클리크 수가 유계인 그래프는 반드시 삼각형이 없고 색수가 높은 유도 부분그래프를 포함해야 한다는 잘 알려진 추측을 반박하는 것.
• 색수가 높고 클리크 수가 작은 그래프의 유도 부분그래프의 구조적 제약을 조사하는 것.
• 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없는, 클리크 수가 유계인 방향 그래프에서의 이분색수 행동을 탐구하는 것.
• 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없는 방향 그래프에 대해, 이분색수가 클리크 수의 함수로 유계가 되는지 여부를 규명하는 것.

제안 방법

• Dn의 수열을 재귀적으로 구성한다. 처음에는 한 정점에서 시작하여, n−1개의 Dn−1 복제본과 새로운 정점들을 사용해 반복적으로 조합한다.
• D′n은 Dn의 변형으로, Dn 내에서 두 정점 사이의 유일한 방향 경로 길이에 따라 간선을 추가한다.
• D′n의 간선을 길이가 3으로 나눈 나머지에 따라 양성과 음성으로 분류한다: 길이 ≡1 mod 3이면 양성 간선, 길이 ≡2 mod 3이면 반대 방향 간선.
• Dn이 순환하지 않으며, 임의의 두 정점 사이에 최대 하나의 방향 경로만 존재함을 증명함으로써, D′n이 잘 정의된 단순 방향 그래프임을 보장한다.
• D′n의 간선 기호 구조를 이용해, 세 정점이 모두 상호 간선으로 연결될 수 없음을 보여, 기저 무방향 그래프에 삼각형이 존재하지 않음을 입증한다.
• 양성 또는 음성 간선을 피하는 정점 집합으로 분할하는 4색칠 기반의 추론을 통해, 삼각형을 포함하지 않는 모든 유도 부분그래프의 색수를 4 이하로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 색수가 높고 클리크 수가 최대 3인 모든 그래프는 반드시 삼각형이 없고 색수가 높은 유도 부분그래프를 포함하는가?
• RQ2 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없는 경우, 방향 그래프의 이분색수가 f(ω(D))로 유계가 되는 함수 f가 존재하는가?
• RQ3 길이가 l이 아닌 유도된 방향 사이클을 포함하지 않는 방향 그래프에 대해, 이분색수가 클리크 수의 함수로 유계가 되는가?
• RQ4 길이가 4 이상인 유도된 방향 사이클이 없는 경우, 방향 그래프의 이분색수가 f(ω(D))로 유계가 되는 함수 f가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 n에 대해, χ(G) ≥ n 이고 ω(G) ≤ 3 인 그래프 G가 존재하며, ω(H) ≤ 2 인 모든 유도 부분그래프 H에 대해 χ(H) ≤ 4 이다. 이는 1.1번 추측을 r ≥ 5 인 모든 경우에 대해 반박한다.
• D′n의 기저 무방향 그래프는 색수가 최소 n이고 클리크 수는 최대 3이므로, 색수가 임의로 큰 그래프의 존재를 확인한다.
• D′n은 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없으며, 그 기저 무방향 그래프의 클리크 수는 최대 3이다.
• D′n의 이분색수는 최소 n이며, 길이가 5 이상인 유도된 홀수 방향 사이클이 없으므로, 이 클래스에서 이분색수가 클리크 수의 함수로 유계가 되지 않음을 보여준다.
• 기저 무방향 그래프의 삼각형을 포함하지 않는 유도 부분그래프의 색수는, 간선 기호 분할 기반의 4색칠 추론으로 인해 최대 4이다.
• 이 구성은 색수가 높고 클리크 수가 작은 그래프가 반드시 삼각형이 없고 색수가 높은 유도 부분그래프를 포함해야 한다는 추측에 대한 반례를 제공하며, 오직 r = 4 경우만 열려있다.