[논문 리뷰] A Counterexample to the $2$-jet determination Chern-Moser Theorem in higher codimension

Francine Meylan|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 26.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차원에서의 실해석적 일반 부분다양체에 대한 2차 미분 결정 정리의 반례를 구성한다. ℂ⁹ 내에 비퇴화된, 리만 생성 부분다양체이자 코드레인지 5인 실해석적 부분다양체 M을 구성하여, 항등사상과 동일한 2차 미분을 갖는 비자명한 실해석적 무한소 CR 자기동형사상이 존재함을 보여, 1차 코드레인지 이상의 일반화된 첸-모서 정리가 성립하지 않음을 입증한다. 그러나 투만프의 결과에 따르면 엄격한 강볼록성 조건 하에서는 여전히 결과가 성립한다.

ABSTRACT

One constructs an example of a generic quadratic submanifold of codimension $5$ in $\Bbb C^9$ which admits a real analytic infinitesimal CR automorphism with homogeneous polynomial coefficients of degree $3.$

연구 동기 및 목표

• 실해석적 부분다양체의 2차 미분 결정 정리의 일반화된 버전이 코드레인지가 1을 초과하는 경우에 성립하지 않음을 반증하기.
• ℂ⁹ 내 코드레인지 5인 일반적이고 리만 생성되며 비퇴화된 이차 부분다양체의 구체적 예를 구성하여, 항등사상과 동일한 2차 미분을 갖는 비자명한 무한소 CR 자기동형사상이 존재함을 보이기.
• 높은 코드레인지에서의 미분 결정 결과의 한계를 명확히 하여, 특히 엄격한 강볼록성 조건이 없을 경우의 한계를 밝히기.
• 일반적인 리만 비퇴화성과 엄격한 강볼록성 간의 차이를 부각시키며, 이 조건 하에서는 여전히 2차 미분 결정이 성립함을 강조하기.

제안 방법

• ℂ⁹ 내 코드레인지 5인 실해석적 부분다양체 M을 z₁,…,z₄와 w₁,…,w₅를 포함하는 다섯 개의 실이차 정의방정식으로 정의하기.
• 정의함수 Pi를 해당하는 헤르미트 행렬 Ai를 갖는 이차형식으로 표현하고, 선형독립성과 투만프의 비퇴화 조건을 검증하기.
• M의 정의방정식을 보존하는 헬름홀로닉 벡터장 X, Y, Z, U를 구성하고, 0에서의 무한소 CR 자기동형사상 대수를 생성하기.
• Pi 간의 항등식과 벡터장 작용을 유도하여, 차수 3의 동차다항계수를 갖는 새로운 헬름홀로닉 벡터장 T를 구성하기.
• T가 정의방정식을 보존함을 보여 M의 0에서의 실해석적 무한소 CR 자기동형사상의 절단공간 hol(M,0)에 속함을 검증하기.
• 결론적으로 T는 0벡터장과 동일한 2차 미분을 갖지만 T ≠ 0이므로, 2차 미분 결정 원리가 위반됨을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CR 자기동형사상에 대한 2차 미분 결정 성질이 코드레인지가 1을 초과하는 실해석적 일반 부분다양체로까지 일반화될 수 있는가?
• RQ2 고차원에서 리만 생성되며 비퇴화된 부분다양체가 항등사상과 동일한 2차 미분을 갖는 비자명한 무한소 CR 자기동형사상을 가질 수 있는가?
• RQ3 엄격한 강볼록성 조건이 없을 경우, 첸-모서의 2차 미분 결정 정리가 실패하는 최소 코드레인지가 얼마인가?
• RQ4 정의함수들 사이에 이차 항등식이 존재할 경우, 이는 미분 결정 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• ℂ⁹ 내 코드레인지 5인 실해석적 일반 부분다양체 M이 구성되었으며, 이는 리만 생성되며 리만 사상이 비퇴화되어 있다.
• 부분다양체 M은 투만프의 비퇴화 조건을 만족한다. 즉, 실벡터 c가 존재하여 det(∑cjAj) ≠ 0 임을 만족한다.
• 차수 3의 동차다항계수를 갖는 비자명한 헬름홀로닉 벡터장 T ∈ hol(M,0)이 명시적으로 구성되었으며, 이는 0이지만 항등사상과 동일한 2차 미분을 갖는다.
• 이 벡터장 T는 원점에서 두 번째 차수까지 항등적으로 작용하는 비자명한 실해석적 무한소 CR 자기동형사상에 대응하므로, 2차 미분 결정 원리가 위반됨을 의미한다.
• 이 예는 엄격한 강볼록성 조건이 없을 경우, 일반화된 2차 미분 결정 정리가 코드레인지 >1에서 실패함을 보여준다.
• 결과적으로 투만프의 최근 결과에서 보듯, 엄격한 강볼凸성 조건은 고차원에서의 2차 미분 결정을 위해 필수적임을 확인한다.