[논문 리뷰] A coupled discontinuous Galerkin-Finite Volume framework for solving gas dynamics over embedded geometries

Vincenzo Gulizzi, Ann Almgren외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 29.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 90인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 매립된 카르테시안 메시에서 고차분리 불연속 갈레르킨(dG) 및 충격 포착 유한체적(FV) 방법을 결합한 새로운 hp-적응 메시 세분화 프레임워크를 제시한다. 이는 점성 없는 기체역학 문제를 높은 정확도와 견고한 충격 해상도로 해결하기 위해 설계되었다. 수준세트 기반 기하 표현과 곡선 잘린 셀에 대한 고차정적 적분을 통해 매끄러운 영역에서는 고차정확도를 달성하고, 최고 수준의 메시 세분화에서 FV를 이용해 충격을 동적으로 추적한다. 2차원 및 3차원 시험 케이스에서 최적 수렴성과 정확한 불연속 해상도를 입증한다.

ABSTRACT

We present a computational framework for solving the equations of inviscid gas dynamics using structured grids with embedded geometries. The novelty of the proposed approach is the use of high-order discontinuous Galerkin (dG) schemes and a shock-capturing Finite Volume (FV) scheme coupled via an $hp$ adaptive mesh refinement ($hp$-AMR) strategy that offers high-order accurate resolution of the embedded geometries. The $hp$-AMR strategy is based on a multi-level block-structured domain partition in which each level is represented by block-structured Cartesian grids and the embedded geometry is represented implicitly by a level set function. The intersection of the embedded geometry with the grids produces the implicitly-defined mesh that consists of a collection of regular rectangular cells plus a relatively small number of irregular curved elements in the vicinity of the embedded boundaries. High-order quadrature rules for implicitly-defined domains enable high-order accuracy resolution of the curved elements with a cell-merging strategy to address the small-cell problem. The $hp$-AMR algorithm treats the system with a second-order finite volume scheme at the finest level to dynamically track the evolution of solution discontinuities while using dG schemes at coarser levels to provide high-order accuracy in smooth regions of the flow. On the dG levels, the methodology supports different orders of basis functions on different levels. The space-discretized governing equations are then advanced explicitly in time using high-order Runge-Kutta algorithms. Numerical tests are presented for two-dimensional and three-dimensional problems involving an ideal gas. The results are compared with both analytical solutions and experimental observations and demonstrate that the framework provides high-order accuracy for smooth flows and accurately captures solution discontinuities.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 기하 구조와 매립 경계를 갖는 환경에서 압축성 기체역학 문제를 해결하기 위한 고차정도, 적응형 수치 프레임워크 개발.
• 암시적 메시에서 정의된 메시에서 곡선 잘린 셀이 있는 매립 경계 방법의 소셀 문제를 셀 병합 및 고차정적 적분을 통해 해결.
• 매끄러운 유동 영역에서는 고차 dG 방법을, 최고 수준의 메시 세분화에서는 충격 포착 FV 방법을 사용하여 견고한 불연속 해상도를 확보.
• 해결책의 특성에 따라 적절한 다항식 차수와 해상도를 선택함으로써 정확도와 효율성을 최적화하는 동적 hp-적응 메시 세분화를 가능하게 함.

제안 방법

• 매립 경계가 수준세트 함수로 표현된 블록 구조, 다중 수준 카르테시안 메시 계층을 사용.
• 경계 근처의 비정규 곡선 요소는 소셀 문제를 완화하기 위해 고차정적 적분 규칙과 셀 병합 전략을 적용.
• 더러운 메시 수준에서는 다항식 차수를 수준마다 다르게 설정한 고차 dG 방법을 적용하고, 최고 수준에서는 충격 포착을 위해 2차 FV 방법을 사용.
• 해결책 기울기와 불연속성 지표를 기반으로 한 동적 메시 세분화를 수행하는 hp-AMR를 적용하며, 밀도 및 충격 감지기 기반 임계값을 사용.
• 시간 적분은 고차정도 TVD 룬게-쿠타 스킴을 통해 수행되어 명시적 시간 적분에서 안정성과 정확도를 확보.
• 동적 메시 생성과 로드 밸런싱을 지원하는 병렬 블록 구조 AMR을 위한 AMReX 프레임워크를 활용한 구현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 hp-AMR를 갖춘 결합 dG-FV 접근법이 매립 기하 문제에서 매끄러운 영역에서는 고차정확도를 달성하면서도 충격을 견고하게 해상화할 수 있는가?
• RQ2 셀 병합 및 고차정적 적분은 곡선 잘린 셀이 있는 매립 경계 방법에서 소셀 문제를 얼마나 효과적으로 완화하는가?
• RQ3 복잡한 2차원 및 3차원 기체역학 시뮬레이션에서 동적 hp-적응 메시 세분화가 정확도와 계산 비용을 얼마나 잘 균형 잡는가?
• RQ4 해석적 및 실험 기준과 비교했을 때, 이 방법은 복잡한 충격 구조(예: 머크 반사 및 삼중점)를 얼마나 잘 포착하는가?

주요 결과

• 매끄러운 흐름 문제, 예를 들어 초음속 소용루프 테스트에서 최적 수렴률을 확보하여 dG 이산화의 고차정확도를 확인.
• 충격 지배 흐름, 예를 들어 볼록-오목 벽면에서의 충격 반사에서 머크 다리와 삼중점 형성 구조를 정확히 포착하며, 수치 결과가 실험 데이터와 밀도 있게 일치.
• 마하 수 M = 1.19, 1.30, 1.41일 때 삼중점의 계산된 위치가 실험 측정치와 잘 일치하여 충격 포착 능력을 검증.
• 최고 수준에서 FV를 사용한 동적 hp-AMR를 적용함으로써 충격은 항상 충분한 해상도로 해상화되고, 매끄러운 영역에서는 고차정확도 유지.
• 복잡한 3차원 매립 기하 구조와 복잡한 잘린 셀 구성도 성공적으로 처리하여 정적 및 동적 AMR 환경 모두에서 견고함을 입증.
• AMR 수준 간에 다항식 차수를 다양하게 설정할 수 있어 정확도를 훼손하지 않은 채 다중 스케일 흐름 특징을 효율적으로 해상화 가능.