[논문 리뷰] A crack induced by a thin rigid inclusion partly debonded from the matrix

Y. A. Antipov, S. M. Mkhitaryan|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 22.

Numerical methods in engineering참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 탄성 기반 매트릭스에서 부분적으로 탈착된 얇은 강성 포함체 주위의 응력장에 대한 폐쇄형 해를 개발한다. 여기서 균열이 포함체의 상부 표면을 관통한다. 주어진 미분방정식을 유한 구간에서 체보타레프-크랍코프 행렬 계수를 가진 벡터 리만-힐베르트 문제로 변환함으로써 저자들은 정확한 해를 유도하고, 균열 길이와 포함체 길이가 동일한 경우가 불안정하며, 응력 집중 인자(Stress Intensity Factors)가 무한대가 되고, 응력의 비정상성 순서가 −3/4로 증가함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

The interaction of a thin rigid inclusion with a finite crack is studied. Two plane problems of elasticity are considered. The first one concerns the case when the upper side of the inclusion is completely debonded from the matrix, and the crack penetrates into the medium. In the second model, the upper side of the inclusion is partly separated from the matrix, that is the crack length $2a$ is less than $2b$, the inclusion length. It is shown that both problems are governed by a singular integral equation of the same structure. Derivation of the closed-form solution of this integral equation is the main result of the paper. The solution is found by solving the associated vector Riemann-Hilbert problem with the Chebotarev-Khrapkov matrix coefficient. A feature of the method proposed is that the vector Riemann-Hilbert problem is set on a finite segment, while the original Khrapkov method of matrix factorization is developed for a closed contour. In the case, when the crack and inclusion lengths are the same, the solution is derived by passing to the limit $b/a o 1$. It is demonstrated that the limiting case $a=b$ is unstable, and when $a<b></b>

연구 동기 및 목표

• 탄성 매질에 부분적으로 탈착된 얇은 강성 포함체를 포함하는 2차원 탄성체에서 응력 집중 및 균열 전파 거동을 분석하기.
• 균열이 포함체를 초과하여 관통하는 경우(a > b)와 짧은 균열인 경우(a < b)를 포함한 두 가지 별개의 평면 탄성 문제를 수립하고 해를 구하기.
• 새로운 방법을 사용하여 벡터 리만-힐베르트 문제를 해결함으로써, 두 문제에 공통적으로 적용되는 특이적 적분방정식의 폐쇄형 해를 도출하기.
• 극한 경우 a = b를 조사하고, a ≠ b인 경우와 비교하여 안정성 및 특이성 행동을 규명하기.
• 응력 집중 인자(SIFs)와 접촉 응력 계산을 수행하고, 점근적 분석 및 수치적 검증을 통해 결과의 타당성을 검증하기.

제안 방법

• 복소평면에서 비조화 연산자의 불연속 경계값 문제로 문제를 수립하기.
• 포함체 및 균열의 기하학적 구조와 그린 함수로부터 유도된 커널을 가진 특이 적분방정식으로 탄성 문제를 축소하기.
• 유한 구간 [−1, 1]에서 체보타레프-크랍코프 행렬 계수를 가진 벡터 리만-힐베르트 문제로 특이 적분방정식을 변환하기.
• 기존의 클라식한 크랍코프 방법과 다름없이 닫힌 경로를 가정하지 않는, 유한 구간에서의 벡터 리만-힐베르트 문제를 해결하기 위한 새로운 방법 개발하기.
• 자카비 다항식과 초함수를 포함한 적분 항등식을 활용하여 유도된 적분을 평가하고 폐쇄형 해를 도출하기.
• 평형 조건 검증 및 극한 경우 a = b에서 문헌에 알려진 결과와의 일致성 검토를 통해 해의 타당성 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균열 길이가 포함체 길이보다 짧거나 긴 경우에 따라, 부분적으로 탈착된 균열을 가진 강성 포함체 주위의 응력장 분포는 어떻게 달라지며, 그 차이는 무엇인가?
• RQ2 균열 끝이 포함체 끝에 가까워질 때, 특히 a → b일 경우 응력 집중 인자(SIFs)는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 a = b인 경우는 안정한가? 그리고 a ≠ b인 경우와 비교해 특이성의 유형이 다를까?
• RQ4 커널의 복잡한 구조를 가진 특이 적분방정식에 대해서도 폐쇄형 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 부분적으로 탈착된 상태에서 포함체와 매트릭스 간의 인터페이스에서 접촉 응력과 변위장은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 체보타레프-크랍코프 행렬 계수를 가진 유한 구간에서의 벡터 리만-힐베르트 문제를 해결함으로써 특이 적분방정식의 폐쇄형 해가 도출되었다.
• a < b인 경우, 응력 성분은 균열 끝과 포함체 끝에서 제곱근 특이성을 나타내어 표준적인 균열 거동을 반영한다.
• 극한 경우 a = b에서는 특이성 순서가 −3/4로 증가하여, a ≠ b인 경우보다 더 심각한 응력 집중을 나타낸다.
• a → b⁻일 때, 모드-I 및 모드-II 응력 집중 인자(SIFs)의 절대값은 무한히 증가하며, 이는 a = b 구성이 불안정함을 시사한다.
• a < b 이면서 a → b일 경우, 균열은 포함체 끝 쪽으로 가속화되어 매트릭스로 관통하려는 동적 경향을 보이며, 불안정 상태를 피하기 위한 경향을 나타낸다.
• a = b인 극한 해는 문헌에 알려진 폐쇄형 해와 일치하여, 제안된 방법의 타당성을 검증한다.