[논문 리뷰] A Criterion For Ergodicity of Non-uniformly hyperbolic Diffeomorphisms

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz외 2명|ArXiv.org|2007. 10. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 리아풀로프 지수 조건과 불변 다양체의 위상적 구조, 특히 블렌더의 존재를 통해 비균일적으로 혼돈적인 미분형사에 대한 새로운 에르고딕성 기준을 수립한다. $C^1$-일반적인 부분적으로 혼돈적인 보존 미분형사에서 두 차원의 중심(bundle)을 가진 경우에 안정적 에르고딕성을 증명하고, 전이적인 표면 미분형사에 대해 SRB-측도의 유일성을 확보한다.

ABSTRACT

In this work we exhibit a new criteria for ergodicity of diffeomorphisms involving conditions on Lyapunov exponents and general position of some invariant manifolds. On one hand we derive uniqueness of SRB-measures for transitive surface diffeomorphisms. On the other hand, using recent results on the existence of blenders we give a positive answer, in the $C^1$ topology, to a conjecture of Pugh-Shub in the context of partially hyperbolic conservative diffeomorphisms with two dimensional center bundle.

연구 동기 및 목표

• 리아풀로프 지수와 불변 다각체 기하학을 바탕으로 비균일적으로 혼돈적인 미분형사의 새로운 에르고딕성 기준 수립.
• 부분적으로 혼돈적인 보존 미분형사에서 두 차원 중심(bundle)을 가진 경우에 $C^1$ 위상에서 Pugh-Shub 추측을 해결.
• 전이적인 표면 미분형사에 대해 $C^{1+}$ 정규성 조건 하에서 SRB-측도의 유일성 증명.
• 약한 동역학적 조건 하에서 $cs$- 및 $cu$-블렌더가 존재하고 그들이 동형선형적으로 관련되어 있을 경우, 안정적 에르고딕성이 유도됨을 보여줌.

제안 방법

• 안정 및 불안정 다각체의 일반적 위치와 리아풀로프 지수를 연결하는 기준을 사용하여 에르고딕성을 유추.
• 보존적인 $C^{1+}$ 미분형사에 대해 Connecting Lemma를 적용하여 주기점 간의 동형선형 교차를 생성.
• 보존적인 Mañé의 에르고딕 폐쇄 보조정리 및 Frank의 보조정리의 변형을 활용하여 체적과 동역학을 유지하면서 미분형사를 변형.
• 실수 중심 고유값을 가진 인덱스 1 차이 사이클을 이용해 $C^1$ 위상에서 $cs$- 및 $cu$-블렌더를 구성.
• Bochi-Viana의 결과를 활용하여 지배적 분해가 존재하지 않을 경우에도 양의 리아풀로프 지수를 갖는 미분형사의 존재를 보장.
• Sard의 정리를 사용하여 비-Kupka-Smale 시스템을 다루고, 잠재적인 접촉에도 불구하고 횡단 교차를 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일적으로 혼돈적인 미분형사에 대해 리아풀로프 지수와 불변 다각체 구조에 어떤 조건이 충족되면 에르고딕성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 부분적으로 혼돈적인 시스템에서 두 차원 중심(bundle)을 가진 경우에 $C^1$ 위상에서 안정적 에르고딕성에 대한 Pugh-Shub 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 특히 $cs$- 및 $cu$-블렌더가 존재하고 그들이 동형선형적으로 관련되어 있을 경우, 이는 안정적 에르고딕성을 암시하는가?
• RQ4 전이적인 $C^{1+}$ 표면 미분형사에 대해 SRB-측도의 수가 유일하게 결정되는가?
• RQ5 Kupka-Smale 조건이 성립하지 않을 경우, 불안정 다각체와 안정 다각체 간의 횡단 교차를 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 모든 $C^{1+}$ 전이적인 표면 미분형사가 최대 하나의 SRB-측도를 갖는다는 것을 증명하여 유일성을 확립한다.
• $C^{1+}$ 보존적인 전이적인 표면 미분형사에서 다수의 SRB-측도가 존재하지 않으면 에르고딕성이 보장되므로, 이러한 시스템은 에르고딕하다.
• $C^1$ 위상에서, 두 차원 중심(bundle)을 가진 $C^1$-일반적인 부분적으로 혼돈적인 보존 미분형사는 안정적 에르고딕하다.
• $cs$-블렌더의 안정 차원이 $s+1$이고 $cu$-블렌더의 불안정 차원이 $u-1$이며, 둘 다 동형선형적으로 관련되어 있을 경우, 안정적 에르고딕성이 유도된다.
• 중심(bundle)에 지배적 분해가 존재하지 않을 경우, $C^1$-변형을 통해 양의 중심 리아풀로프 지수를 갖는 미분형사를 구성할 수 있으며, 이는 Theorem 1.1의 적용을 가능하게 한다.
• 논문은 부분적으로 혼돈적인 보존 미분형사에서 $ ext{dim}(E^c) = 2$ 이며, 본질적 가용성과 블렌더의 존재 조건을 만족할 경우, $C^1$ 설정에서 Pugh-Shub 추측을 확인한다.