[논문 리뷰] A critical fractional equation with concave-convex power nonlinearities

Begoña Barrios, Eduardo Colorado외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 13.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 53인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 내에서 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$를 포함하는 분수 임계 방정식과 그에 수반된 볼록-오목 비선형성에 대해 다룬다. 변분 방법과 산맥 정리(Mountain Pass Theorem)를 사용하여 매개수 $\lambda$에 따라 존재성 및 다중성 결과를 도출하며, $0 < q < 1$인 경우(오목 케이스)와 $1 < q < 2^*_s - 1$인 경우(볼록 케이스)에 대해 서로 다른 행동을 보이며, 작은 $\lambda$에 대해 최소 두 개의 해가 존재하고 큰 $\lambda$에 대해 하나의 해가 존재함을 증명한다. 이는 특정 차원 조건을 만족할 때 성립한다.

ABSTRACT

In this work we study the following fractional critical problem $$ (P_λ)=\left\{\begin{array}{ll} (-Δ)^s u=λu^{q} + u^{2^*_{s}-1}, \quad u{&gt;}0 &amp; \mbox{in} Ω\\ u=0 &amp; \mbox{in} \RR^n\setminus Ω\,, \end{array} ight. $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n$ is a regular bounded domain, $λ&gt;0$, $02s$. Here $(-Δ)^s$ denotes the fractional Laplace operator defined, up to a normalization factor, by $$ -(-Δ)^s u(x)={ m P. V.} \int_{\RR^n}\frac{u(x+y)+u(x-y)-2u(x)}{|y|^{n+2s}}\,dy, \quad x\in \RR^n. $$ Our main results show the existence and multiplicity of solutions to problem $(P_λ)$ for different values of $λ$. The dependency on this parameter changes according to whether we consider the concave power case ($0

연구 동기 및 목표

• 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$에 의해 이끄는 비국소 임계 문제에 대한 양의 약한 해의 존재성과 다중성을 분석하는 것.
• 양의 매개수 $\lambda > 0$가 오목 및 볼록 비선형성의 경쟁 상황에서 해의 구조에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 국소 라플라스 설정에서의 고전적 결과를 비국소 분수 설정으로 확장하여, 특히 임계 지수에 대해 연구하는 것.
• 문제 $(P_\lambda)$가 $\lambda > \Lambda$일 때는 해가 존재하지 않으며, $\lambda < \Lambda$일 때 최소한의 해가 존재하고 $\lambda = \Lambda$일 때 최소한 하나의 해가 존재하도록 보장하는 임계값 $\Lambda$의 존재를 확립하는 것.

제안 방법

• 분수 소볼레프 공간 $X_0^s(\Omega)$ 내에서 문제를 변분적으로 기술하고, $(-\Delta)^s$와 임계 비선형성 $u^{2^*_s - 1}$에 관련된 에너지 함수를 사용하는 것.
• 산맥 정리를 적용하여 $1 < q < 2^*_s - 1$인 경우 에너지 함수 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$의 비자명한 임계점을 존재함을 보이는 것.
• 오목 및 볼록 케이스 모두에서 에너지 함수의 팔라이스-스마일 조건(Palais–Smale condition)을 증명하여 팔라이스-스마일 수열의 수렴성을 보장하는 것.
• 특정 점 근처에 집중하는 가족 $\eta_\varepsilon$의 절단 함수를 갖는 형식의 시험 함수 $t \eta_\varepsilon$를 사용하여 에너지 함수를 추정하고 산맥 정리의 기하 조건을 확인하는 것.
• $\lambda \to \infty$일 때 시험 경로에서 최대화자 $t_{\varepsilon,\lambda}$의 점근적 행동을 분석하여 산맥 수준이 양수이면서 0에서 멀리 떨어져 있음을 보이는 것.
• 분수 라플라스 연산자에 대한 포호자에프 유형 항등식(Pohozaev-type identity)을 활용하여 $\lambda = 0$ 이면서 $\Omega$가 별형(star-shaped)인 경우 해가 존재하지 않음을 제거함으로써, $\lambda u^q$의 왜곡 항이 필요함을 정당화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $0 < q < 1$일 때, 문제 $(P_\lambda)$가 $\lambda > \Lambda$일 때는 해가 존재하지 않으며, $\lambda < \Lambda$일 때는 최소 두 개의 해가 존재하는 임계값 $\Lambda > 0$이 존재하는가?
• RQ2 만약 $1 < q < 2^*_s - 1$일 때, 차원 $n$과 매개수 $\lambda$에 어떤 조건이 성립하면 문제 $(P_\lambda)$가 최소한 하나의 양의 해를 갖는가?
• RQ3 비국소 분수 설정에서 오목 항 $\lambda u^q$와 임계 볼록 항 $u^{2^*_s - 1}$ 간의 상호작용이 해의 존재성 및 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 볼록 케이스에서 산맥 정리가 에너지 함수 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$에 적용 가능한가? 그리고 팔라이스-스마일 조건이 성립하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 오목 케이스 $0 < q < 1$에 대해, 유한한 임계값 $\Lambda > 0$이 존재하여 문제 $(P_\lambda)$는 $\lambda > \Lambda$일 때 해가 존재하지 않으며, $\lambda < \Lambda$일 때 최소한의 해가 존재하고 $\lambda = \Lambda$일 때 최소한 하나의 해가 존재하며, $0 < \lambda < \Lambda$일 때 최소 두 개의 해가 존재한다.
• 볼록 케이스 $1 < q < 2^*_s - 1$에 대해, $n > \frac{2s(q+3)}{q+1}$ 이면서 $\lambda > 0$이거나, $n \leq \frac{2s(q+3)}{q+1}$ 이면서 $\lambda$가 충분히 클 경우 문제 $(P_\lambda)$는 최소한 하나의 양의 해를 갖는다.
• 에너지 함수 $\mathcal{J}_{s,\lambda}$는 오목 및 볼록 케이스 모두에서 팔라이스-스마일 조건을 만족하여 팔라이스-스마일 수열이 임계점으로 수렴함을 보장한다.
• 산맥 수준 $c_\varepsilon$는 양수인 상한 $\beta > 0$으로부터 아래로 유계이므로, 이는 함수의 비자명한 임계점 존재를 보장한다.
• 시험 경로 $t_{\varepsilon,\lambda}$의 점근적 분석 결과 $\lambda \to \infty$일 때 $t_{\varepsilon,\lambda} \to 0$이 되며, 이는 산맥 수준이 양수로 유지되도록 하여 큰 $\lambda$에 대해서도 해의 존재를 보장한다.
• 결과는 브레지스와 니레버그의 고전적 국소 결과를 비국소 분수 설정으로 확장하며, 분수 임계 지수 $2^*_s = \frac{2n}{n-2s}$가 중심적인 역할을 한다.