[논문 리뷰] A curious polynomial interpolation of Carlitz-Riordan's $q$-ballot numbers

Frédéric Chapoton, Jiang Zeng|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 $ q $-정수에서 평가했을 때 칼리츠-리오르단의 $ q $-보트넘수를 보간하는 $ q $-차분방정식으로 정의된 다항식 수열 $ C_n(x|q) $를 제안한다. 주요 기여는 조합적 재귀관계와 계수가 다시 $ q $-보트넘수인 기저 전개를 밝혀내어 이러한 다항식의 깊이 있는 대수적 및 조합적 구조를 드러내는 것이다.

ABSTRACT

We study a polynomial sequence $C_n(x|q)$ defined as a solution of a $q$-difference equation. This sequence, evaluated at $q$-integers, interpolates Carlitz-Riordan's $q$-ballot numbers. In the basis given by some kind of $q$-binomial coefficients, the coefficients are again some $q$-ballot numbers. We obtain in a combinatorial way another curious recurrence relation for these polynomials.

연구 동기 및 목표

• 칼리츠-리오르단의 $ q $-보트넘수를 $ \mathbb{Q}(q) $ 계수를 가진 $ x $ 에 대한 다항식 보간을 통해 구성하는 것.
• 이 다항식을 $ q $-정수에서 평가하고, 그것이 $ q $-보트넘수와 어떻게 관련되어 있는지 조사하는 것.
• $ C_n(x|q) $를 $ q $-이항계수 기저에서 전개하고 계수의 조합적 구조를 드러내는 것.
• 클래식한 경우 $ q = 1 $에서도 유효한 새로운 재귀관계를 도출하고, 조합적 방법으로 이를 증명하는 것.
• 계수의 양의성과 $ C_n(x|q) $의 분자의 뉴턴 다면체의 기하학적 구조에 관한 열린 문제를 탐색하는 것.

제안 방법

• Hahn 연산자 $ \Delta_q $를 사용하여 $ \Delta_q C_{n+1}(x|q) = q C_n(q^2 x + q + 1|q) $ 를 만족하는 다항식 수열 $ C_n(x|q) $ 를 정의한다.
• Hahn 연산자 정의 $ \Delta_q f(x) = \frac{f(1 + qx) - f(x)}{1 + (q - 1)x} $ 를 이용하여, $ C_n(qx + 1|q) $ 를 포함하는 등가 형태의 재귀관계를 표현한다.
• $ q $-정수 $ [k]_q $ 에서 $ C_n([k]_q|q) $ 를 평가하고, 그것이 $ q^{kn + \frac{n(n+1)}{2}} f(k+n, n|q^{-1}) $ 와 같음을 증명하여 다항식과 $ q $-보트넘수를 연결한다.
• $ C_n(x|q) $ 를 $ q $-이항계수 $ \binom{x}{k}_q $ 의 기저에서 전개하고, 계수가 스스로 $ q $-보트넘수임을 보여준다.
• 지역 높이에 따라 나누어지는 점이 있는 격자경로의 조합적 분해를 통해 $ C_n(x|q) $ 에 대한 새로운 재귀관계를 수립한다.
• 면적과 높이 가중치를 가진 생성함수의 해석을 통해 재귀관계의 조합적 증명을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼리츠-리오르단의 $ q $-보트넘수는 $ \mathbb{Q}(q) $ 계수를 가진 $ x $ 에 대한 다항식 수열로 보간될 수 있는가? 이때 $ q $-정수에서의 평가가 $ q $-보트넘수를 복원하는가?
• RQ2 $ C_n(x|q) $ 가 $ q $-이항계수 기저 $ \binom{x}{k}_q $ 에서 전개될 때 계수의 구조는 어떠한가? 그리고 이들은 $ q $-보트넘수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 $ q = 1 $ 일 때 클래식한 카탈란 수의 재귀관계를 일반화하는 비자명한 $ C_n(x|q) $ 의 재귀관계가 존재하는가? 그리고 이를 조합적으로 증명할 수 있는가?
• RQ4 $ C_n(x|q) $ 의 분자의 뉴턴 다면체의 형태는 어떠한가? 그리고 그 상부 경계 기울기는 예측 가능한 패턴을 따르는가?
• RQ5 $ C_n(x|q) $ 의 계수는 기약분수 형태로 쓰였을 때 양수인가? 이를 증명하거나 추측할 수 있는가?

주요 결과

• $ x = [k]_q $ 에서 평가하면 $ C_n([k]_q|q) = q^{kn + \frac{n(n+1)}{2}} f(k+n, n|q^{-1}) $ 를 얻으며, 이는 $ q $-정수에서의 $ q $-보트넘수 $ f(n,k|q) $ 를 보간한다.
• $ C_n(x|q) $ 를 기저 $ \binom{x}{k}_q $ 에서 전개하면 계수가 스스로 $ q $-보트넘수임을 보여주며, 구체적으로 $ C_n(x|q) = \sum_{k=0}^{n-1} f(n-k, k|q) \cdot q^{k(k-1)/2} \binom{x}{k}_q $ 라는 표현을 얻는다.
• 조합적 방법으로 새로운 재귀관계를 확립하였다: $ n C_n(x|q) = (2n - 1 + x) C_{n-1}(x|q) + \sum_{j=0}^{n-3} (n - j - 2) C_j(x|q) C_{n-1-j}(x|q) $, $ n \geq 2 $ 에 대해 유효하며, 경로 분해에 기반한 조합적 증명이 존재한다.
• $ q = 1 $ 일 때 재귀관계는 $ n C_n(x|1) = (2n - 1 + x) C_{n-1}(x|1) + \sum_{j=0}^{n-3} (n - j - 2) C_j C_{n-1-j}(x|1) $ 로 줄어들며, 다항식 $ C_n(x|1) $ 는 카탈란 생성함수의 배수임을 보여준다.
• $ C_n(x|q) $ 의 최고차항 계수는 $ \frac{q^{n^2}}{[1]_q [2]_q \cdots [n]_q} $ 이며, $ C_n(x|q) $ 의 기약분수 형태에서 분자의 계수는 모두 양수일 것이라 추측된다.
• $ C_n(x|q) $ 의 분자의 뉴턴 다면체는 기울기가 홀수 정수 $ 1, 3, \dots, 2n - 3 $ 를 따르는 상부 경계를 가지며, 이는 규칙적인 기하학적 구조를 시사한다.