[논문 리뷰] A De Giorgi Iteration-based Approach for the Establishment of ISS Properties of a Class of Semi-linear Parabolic PDEs with Boundary and In-domain Disturbances

Jun Zheng, Guchuan Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 26.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 21인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 딜레르트 경계 조건과 경계 및 영역 내 외란을 동반한 반선형 포아송 편미분방정식(PDE)에 대해 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)을 확립하기 위해 새로운 데 지오르기 반복 기반 접근법을 제안한다. 시스템을 두 개의 하위계로 분할함으로써, 초기 조건이 있고 경계 외란이 없는 하위계와, 경계 외란이 있고 초기 조건이 0인 하위계로 나누며, 이는 $L^2$-노름 ISS 분석을 위한 리아푸노프 함수 기법과 $L^\infty$-노름 ISS 분석을 위한 데 지오르기 반복 기법을 조합하여, 1차원 운반 방정식에 대해 $L^\infty$-노름 ISS를 성공적으로 증명하고 버거스 방정식에 대해 $L^2$-노름 ISS를 증명한다.

ABSTRACT

This paper addresses input-to-state stability (ISS) properties with respect to boundary and in-domain disturbances for a class of semi-linear partial differential equations (PDEs) subject to Dirichlet boundary conditions. The developed approach is a combination of the method of De Giorgi iteration and the technique of Lyapunov functionals by adequately splitting the original problem into two subsystems. The ISS in $L^\infty$-norm for a 1-$D$ transport equation and the ISS in $L^2$-norm for Burgers' equation have been established using this method. As an application of the main result for the 1-D transport equation, a study on ISS properties in $L^\infty$-norm of a 1-D transport equation with anti-stable term under boundary feedback control is carried out. This is the first time that the method of De Giorgi iteration is introduced in the ISS theory for infinite dimensional systems, and the developed method can be generalized for tackling some problems on multidimensional spatial domains and be applied to a wider class of nonlinear parabolic PDEs.

연구 동기 및 목표

• 디릴레흐 경계 조건 하에서 경계 및 영역 내 외란을 동시에 받는 반선형 포아송 편미분방정식에 대해 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)을 확립하는 데 도전하는 것.
• 기존 방법들이 유계가 아닌 연산자 또는 딜레르트 조건 하에서 특히 $L^\infty$-노름 분석에서 실패하는 한계를 극복하는 것.
• 이전에 정규성 이론에서 사용된 바 있는 데 지오르기 반복 기법을 무한차원 시스템의 ISS 분석으로 확장하는 것.
• 다차원 영역과 더 넓은 비선형 포아송 편미분방정식의 클래스에 적용 가능한 일반화 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 경계 피드백 제어 하에서 반안정성 항을 포함한 경우를 포함하여 1차원 운반 방정식과 버거스 방정식에 대한 ISS 분석을 통해 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 시스템을 두 개의 하위계로 분해함: 동차 경계 조건과 비영인 초기 데이터를 가진 하위계(경계 외란 없음)와 경계 외란이 있고 초기 조건이 0인 하위계(영역 내 외란은 어느 쪽에 할당될 수 있음).
• 초기값 하위계에 대해 리아푸노프 함수 기법을 적용하여 $H^1$ 또는 $L^2$-노름에서 ISS를 도출함으로써, 초기 조건의 변화에 대한 안정성을 보장함.
• 경계 외란 하위계에 대해 데 지오르기 반복 기법을 적용하여 해의 $L^\infty$-노름 상한을 확립함으로써, 최대노름에서의 ISS 분석을 가능하게 함.
• 두 하위계에서의 추정치를 조합함으로써 전체 시스템의 ISS 성질을 확보하며, 삼각 부등식과 노름 동치성을 활용함.
• 비선형 항과 경계 기여를 제어하기 위해 푸앵카레 부등식 및 얀 부등식과 같은 핵심 부등식을 사용함.
• 1차원 운반 방정식과 버거스 방정식에 대해 검증하며, 초기 데이터, 경계 외란, 영역 내 외란에 대해 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}$ 및 $\|u(\cdot,t)\|_{L^2}$의 명시적 상한을 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데 지오르기 반복 기법이 경계 외란을 가진 무한차원 시스템의 ISS 성질을 효과적으로 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 전통적인 리아푸노프 방법이 제약을 받는 딜레르트 경계 조건 하에서 반선형 포아송 편미분방정식에 대해 $L^\infty$-노름 ISS를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 초기조건 기반 하위계와 외란 기반 하위계로의 시스템 분해가, 서로 다른 분석 도구(리아푸노프 대비 데 지오르기)를 서로 다른 노름에 적용할 수 있도록 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법이 다차원 공간 영역과 다른 비선형 포아송 편미분방정식의 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 경계 피드백 제어 하에서 반안정성 항을 포함한 시스템에 대해 이 방법은 $L^\infty$-노름 ISS 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 논문은 데 지오르기 반복 기법을 활용하여 경계 및 영역 내 외란을 가진 1차원 선형 운반 PDE에 대해 $L^\infty$-노름 ISS를 확립함.
• 리아푸노프 함수 기법을 사용하여 동일한 외란 조건 하에서 버거스 방정식에 대해 $L^2$-노름 ISS를 증명함.
• 기존의 [21]에서의 $L^p$-노름 결과($p>2$)보다 더 강력한 안정성 추정치를 제공하는 $L^\infty$-노름 상한을 달성함.
• 반안정성 항을 포함한 1차원 운반 방정식에 대해 경계 피드백 제어 하에서 $L^\infty$-노름 ISS 분석이 가능함을 보여주며, 안정화 가능한 시스템에의 적용 가능성을 입증함.
• 유도된 운반 방정식의 추정치는 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq \max_{s\in[0,t]}|d(s)| + \frac{1}{\mu}2^{\frac{5p-8}{2p-4}}\max_{(x,s)\in[0,1]\times[0,t]}|f(x,s)|$를 만족하며, 외란에 대한 명시적 의존성을 보임.
• 이 방법은 다차원 영역과 일반화된 버거스, 페르시-콜모고로프, 초파이-인판트 방정식 등의 다른 반선형 포아송 편미분방정식으로 일반화 가능함이 입증됨.